公孫清一番搖頭晃腦之後，眾人的目光齊刷刷地望向了祖暅之。
聖臣就算不同中國言語，不懂中國風俗，但是他反應並不遲鈍，自然明了目光所聚的這位白衣公子不是等閑人物。
於是他主動離席，在通譯的陪伴下與祖暅之攀談。
聖臣非常誠懇地要求祖暅之分享一下中原關於算學一道比較深層的研究命題。
祖暅之猶豫了片刻，還是取出了未完成的《綴術》秘傳。
他實在太想把這本書的內容推銷出去了，
寫一本無人能懂的書，真的是一件很孤獨的事。
（旁白）：啊呀呀呀呀~空有一身屠龍技啊~。
祖暅之取出書，一邊秀圖，一邊用肢體語言比劃，卻依然把那通譯為難得抓耳撓腮。
簡言之，這《綴術》之書共分五章。
第一章，割幹以枝，割枝以末。
是對劉徽割圓，割錐，諸割術的深入研究，
按照現代數學觀點，就是微分學。
第二章，積末為枝，積枝為幹。
這是割法之後，重新整合，求取麵積的算法，
也就是現代數學的積分學。
第三章，去葉存枝，去枝存幹。
這一章講得是在有多個未知數（綴）的情況下，如何做簡化，運算分析，既偏微分。
第四章，綴數成木，綴木成林。
這是通過研究不同變量（綴）的變化，找出他們之間原本的運算關係的技巧，
大致相當於今日微分方程。
第五章，既有成圖，案以索驥。
這其實是全書最簡單的一章，但卻需要建立在前四章的研究基礎之上，
研究函數，解析幾何，這些按圖索驥的算法。
這本書放到現在，直接換個封麵，貼上《高等數學》四個大字，那就直接可以送進各大高校當教材了。
（讀者讀到這裏都快跳起來了，你咋有膽這麽說，你咋不上天？別急，我們不是有敲黑板時間麽？慢慢講，慢慢講。）
暅之滔滔不絕講了約莫兩個時辰，從晌午時分一直講到了約莫晚飯時間。
無關的眾人都聊得有些累了，
可是暅之，聖臣，信都芳，陶弘景還有那名可憐通譯，這個小圈子卻還沒有聊完。
說實話，若不是魏王有意讓暅之壯壯國威，這宴席早該散了。
不過僵到此時，倒也省事，直接翻台換晚宴即可。
聖臣聚精會神，足足聽滿了兩個時辰，
等到暅之講完，他把頭橫著，豎著，斜著反複搖擺。
有些是表示對祖氏著作的肯定，認為自己有所收獲，
但更多的是在表達想不通，不明白。
不要說他不明白，信都芳，陶弘景也隻能理解不超過三成。
陶弘景捋著胡須歎道，
“這本《綴術》，貧道前前後後聽祖文遠講過三次。
今日又聽暅之講了一遍，大多還是雲裏霧裏。
但是每每考較其真實，祖氏父子憑之演算，結果卻都大體無差。
貧道唯有拜服一途，不複它想。”
聖臣在這個時候早已沒有了爭勝的勇氣，除了表示有向暅之請教學習的意願以外，不敢再擺出考較的姿態。
有了這半天的情感交流，到了晚上，就可以聊些相對正式的話題了。
魏王首先感謝天竺使團義助，
有他們的加入，這場無遮盛會的含金量自然又高了幾分。
隻是魏國斥候是在蜀地境內偶遇使團的，
既然是一場美麗的巧合，那麽使團此來自然另有目的。
於是魏王非常委婉地向聖臣打聽來意。
聖臣恭謹起身，開始介紹姬多王朝遇到的困境。
蔥嶺以西，昔有大國貴霜。
及其帝國崩解，超日王崛起，收複北天竺，一統中天竺，所建姬多王朝盛極一時。
但自超日王死後，姬多其實一直在走下坡路。
罽賓地區的白匈奴再建嚈噠帝國，迅速控製了貴霜故地，並開始蠶食超日王時期奪回的天竺領地。
到了而今幼日王這一朝，嚈噠帝國已經侵入恒河流域，開始擠壓姬多王朝的戰略腹地。
幼日王不想坐以待斃，於是才遣使向大魏請援。
魏王沉思了片刻，正色答複道，
“大魏與姬多，相去千裏。
南向隔了蕭齊，西南隔了山外山，向西要經過廣袤西域，自嚈噠折向南才能到達天竺。
山外山的地理不適合大規模行軍，
而蕭齊也絕對不會借道讓魏國軍隊通行，這在中原為兵家大忌。
假道伐虢的典故，姚思夏，你在翻譯的時候替朕轉譯一下。
西向這條路線就更為曲折了，
我大魏對西域的控製並不算穩固，
柔然，高車，吐穀渾，康居等大國對我們的動向都很敏感，貿然動用大軍也非明智之舉。
所以，我大魏直接投入天竺戰爭比較困難。
但是兩國既然有意結為友邦，我們也自然沒有不聞不問的道理。
我大魏會向天竺派遣軍事專家和冶煉匠人，
但是朕也希望天竺可以用一樣東西來做交換。”
聖臣聽完姚思夏的翻譯，雖然有些失望，但仔細想想也的確是這個道理。
魏王允諾的，已經是眼下他們可以提供的最大幫助了。
隻是不知道魏王會索要什麽東西，難道是他故鄉的特產它山石？
它山石是重要戰略資源，當時世上隻有天竺有產，可惜魏王並不識得這玩意。
當聖臣提出疑問的時候，魏王的回答卻讓他啞然失笑，
“朕需要天竺的聖黃染料。
今之華夏印染明黃使用的還是黃帝赤精（鉻黃）這種名貴礦藏，
這種黃色礦粉見於河西，產量極低。
朕有意以黃袍代替漢製深衣，複黃帝君臨之儀表。
但是苦於原料稀缺，用於印染，實在肉疼。
朕聽說天竺聖僧服飾皆染黃，想來貴國必有特別的染料資源。
我魏國沒有辦法給予你們直接的軍事援助，因此朕的開口也不大。
些許染料，應該沒有問題吧？”
聖臣沒有半分猶豫，立即答應下來。
魏王胃口的確不大，這些授權他還是有的。
隻是說道這天竺聖黃，就又要講回溺金的神牛了。
雖然現代印度學者通過“嚴謹實驗”證明他們的聖牛吉爾牛尿液中真地可以提取出小黃金，
但是你們都懂的，不說破便好。
不過硬要說有神牛溺金的話，也不算是天方夜譚。
比如這聖黃的染料，便的確是牛溺所煉，
在上古遠銷歐亞，價值不菲，確實為天竺賺取了不少真金白銀。
天竺獸師以芒果飼牛，發現牛的消化係統無法分解芒果所含黃色素，會將所有的顯色物質通過尿液排出。
這些牛溺煉幹後便可作為染料使用。
染料中的黃色素歸根結蒂來自芒果，又經牛腎作用，變得易溶且色固性好，
可謂是非常原生環保的綠色工藝了。
》》》》》敲黑板時間《《《《《
中國皇帝服飾自隋朝開始取明黃袞龍袍，這時有據可查的。但是隋因魏製，所以在北魏這種風向應該已經開始了。漢代以來黃帝十二章袞袍不染明黃，主要是因為染料的稀缺。但天竺近熱帶，色澤鮮豔的自然植株更多，因此一直以來都不缺乏黃色染料。本文提到的牛溺印度黃，是真實古代工藝，成品曾經遠銷大英帝國，在現代紡織工業中也有運用曆史。
上一節關於天竺往事我們還沒講完。但是天竺史估計不是各位看官關注重點，略往後放一放應該不會太影響閱讀心情。倒是這算經，曆法兩項如果不給些合理的解釋，筆者大概馬上就要收到刀片了。
有很多事情，不做橫向對比，我們永遠不知道中國古代領先世界多少。在算學一道便是如此。阿耶波多，印度算學大家，地位和祖衝之在中國那是一般無二的。先略過曆法部分不談（後麵幾節再講）。阿耶波多在算學上最大的突破主要有三：將圓周率推演到了小數點後第五位（其實是精算四位）；總結了三角形麵積計算公式，提出了疑似三角函數的概念；在級數算法和極限理解上的突破。
單以這三點，比起當時中國的算學大家祖氏三代，我們都隻能用“籲~”來回複。
我們聽西方人評價中國數學，當然，他們會肯定許多無法被抹殺的事實，比如祖率，開方算法等等。但是總得來說，他們對中國數學還是有很深刻的歧視，說中國古代數學沒有無理數概念，沒有三角函數計算概念，所以能夠進行的計算是很初步的。
呸~
在本文正文裏已經說過，中國的算經注重計算，而且體係獨立，在概念上和西方完全是兩套方案。西方的現代數學，是用了古希臘的詞匯定義發展的，你覺得他們概念準確用詞準確，那是因為原生語言優勢。就像之前筆者曾經提過的，《幾何原本》是原本嗎？完全是用現代語言重翻的古希臘書籍。
<a id="wzsy" href="http://www.fantuankanshu.com">fantuankanshu.com</a>
中國確實沒有明確提出過“無理數”這麽一個概念。但是無理數的數學危機，一直到十九世紀末西方才有定論，最先發現無理數的人，被當做異端扔到海裏喂魚了！如果因為一個被世人拋棄的小眾學者的發現就認為西方率先掌握無理數，那麽是不是可以說中國的“宣夜說”證明中國已經掌握了宇宙的真相？是不是可以以《酉陽雜俎》證明中國率先登月？但是中國確確實實掌握了平方開方的算法，而且在《九章算術》中有整整一章的開方例題。不但平方，立方也可開。本文隻舉一例：
《九章算術?少廣》又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步。問為方幾何？
答曰：六萬三千二十五步。
開方術曰：……具體開方算法。
開方，在九章算術中作為基本算法之一。開平方和立方的籌算到了祖衝之時期已經相當成熟。《九章算術》相當於古代六藝數之一道的初中教材（這個後麵還會講）。所以討論類似根號二問題，在中國太幼稚了，太幼稚！
關於三角函數，這樣講吧。中國數學沒有采用刻度記角法，一直以來，采用的就是三角函數記角法。也就是勾股玄記角法。印度也同樣沒有。我們不講那些模棱兩可的說法，隻看實質，勾股玄的本質不就是三角運算嗎？
早在周朝《周髀算經》中，就有“勾股各自乘，並而開方除之”的說法。
《九章算術》曰：勾股術曰：勾股各自乘，並，而開方除之，即弦。又股自乘，以減弦自乘，其餘開方除之，即勾。又勾自乘，以減弦自乘，其餘開方除之，即股。
這就是中國自己的三角函數定義，正弦=勾/弦，餘弦=股/弦……類推。用勾股玄可以表達所有三角函數，可以用這些三角函數值標注所有角的大小。我們有自己的定義，公式和運算方法，為什麽要全盤照搬西方呢？你說中國沒有掌握直角三角型之外的解析幾何應用？拜托，解析幾何鼻祖笛卡爾是十七世紀數學家，和公元一世紀的張蒼，耿壽昌對比是不是有點略失公平？
中國關於三角關係的應用在測量學中大放異彩。美國數學家Fraz在看過劉徽所著《海島算經》的時候說，“中國在數學測量學的成就，超越西方約一千年。”是的，因為他們在一千年後才真正掌握三角複雜計算。三角學傳入中國的時候，中西方學者普遍認為，湯若望，徐光啟的《大測》並沒有超越《海島算經》的內容。舉一道海島算經例題：
今有望清淵下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又設重矩於上，其間相去四尺。更從勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。問水深幾何？答曰：一丈二尺。
術曰：置望水上、下股相減，餘以乘望石上股為上率。又以望石上、下股相減，餘以乘望水上股為下率。兩率相減，餘以乘矩間為實；以二差相乘為法。實如法而一，得水深。
這道例題可以看懂，高中古文，三角，幾何，全部畢業。由於不畫圖，無法講解這道題，所以關於這道題的具體算法，大家隻能自行百度了。
這《海島算經》在古代數學教材中屬於什麽水平呢？和九章算術一樣，也是初中教材。這節已經有點長了，關於古代數學教材，古代計數法和神奇的《綴術》那些事，我們下一章再說。
聖臣就算不同中國言語，不懂中國風俗，但是他反應並不遲鈍，自然明了目光所聚的這位白衣公子不是等閑人物。
於是他主動離席，在通譯的陪伴下與祖暅之攀談。
聖臣非常誠懇地要求祖暅之分享一下中原關於算學一道比較深層的研究命題。
祖暅之猶豫了片刻，還是取出了未完成的《綴術》秘傳。
他實在太想把這本書的內容推銷出去了，
寫一本無人能懂的書，真的是一件很孤獨的事。
（旁白）：啊呀呀呀呀~空有一身屠龍技啊~。
祖暅之取出書，一邊秀圖，一邊用肢體語言比劃，卻依然把那通譯為難得抓耳撓腮。
簡言之，這《綴術》之書共分五章。
第一章，割幹以枝，割枝以末。
是對劉徽割圓，割錐，諸割術的深入研究，
按照現代數學觀點，就是微分學。
第二章，積末為枝，積枝為幹。
這是割法之後，重新整合，求取麵積的算法，
也就是現代數學的積分學。
第三章，去葉存枝，去枝存幹。
這一章講得是在有多個未知數（綴）的情況下，如何做簡化，運算分析，既偏微分。
第四章，綴數成木，綴木成林。
這是通過研究不同變量（綴）的變化，找出他們之間原本的運算關係的技巧，
大致相當於今日微分方程。
第五章，既有成圖，案以索驥。
這其實是全書最簡單的一章，但卻需要建立在前四章的研究基礎之上，
研究函數，解析幾何，這些按圖索驥的算法。
這本書放到現在，直接換個封麵，貼上《高等數學》四個大字，那就直接可以送進各大高校當教材了。
（讀者讀到這裏都快跳起來了，你咋有膽這麽說，你咋不上天？別急，我們不是有敲黑板時間麽？慢慢講，慢慢講。）
暅之滔滔不絕講了約莫兩個時辰，從晌午時分一直講到了約莫晚飯時間。
無關的眾人都聊得有些累了，
可是暅之，聖臣，信都芳，陶弘景還有那名可憐通譯，這個小圈子卻還沒有聊完。
說實話，若不是魏王有意讓暅之壯壯國威，這宴席早該散了。
不過僵到此時，倒也省事，直接翻台換晚宴即可。
聖臣聚精會神，足足聽滿了兩個時辰，
等到暅之講完，他把頭橫著，豎著，斜著反複搖擺。
有些是表示對祖氏著作的肯定，認為自己有所收獲，
但更多的是在表達想不通，不明白。
不要說他不明白，信都芳，陶弘景也隻能理解不超過三成。
陶弘景捋著胡須歎道，
“這本《綴術》，貧道前前後後聽祖文遠講過三次。
今日又聽暅之講了一遍，大多還是雲裏霧裏。
但是每每考較其真實，祖氏父子憑之演算，結果卻都大體無差。
貧道唯有拜服一途，不複它想。”
聖臣在這個時候早已沒有了爭勝的勇氣，除了表示有向暅之請教學習的意願以外，不敢再擺出考較的姿態。
有了這半天的情感交流，到了晚上，就可以聊些相對正式的話題了。
魏王首先感謝天竺使團義助，
有他們的加入，這場無遮盛會的含金量自然又高了幾分。
隻是魏國斥候是在蜀地境內偶遇使團的，
既然是一場美麗的巧合，那麽使團此來自然另有目的。
於是魏王非常委婉地向聖臣打聽來意。
聖臣恭謹起身，開始介紹姬多王朝遇到的困境。
蔥嶺以西，昔有大國貴霜。
及其帝國崩解，超日王崛起，收複北天竺，一統中天竺，所建姬多王朝盛極一時。
但自超日王死後，姬多其實一直在走下坡路。
罽賓地區的白匈奴再建嚈噠帝國，迅速控製了貴霜故地，並開始蠶食超日王時期奪回的天竺領地。
到了而今幼日王這一朝，嚈噠帝國已經侵入恒河流域，開始擠壓姬多王朝的戰略腹地。
幼日王不想坐以待斃，於是才遣使向大魏請援。
魏王沉思了片刻，正色答複道，
“大魏與姬多，相去千裏。
南向隔了蕭齊，西南隔了山外山，向西要經過廣袤西域，自嚈噠折向南才能到達天竺。
山外山的地理不適合大規模行軍，
而蕭齊也絕對不會借道讓魏國軍隊通行，這在中原為兵家大忌。
假道伐虢的典故，姚思夏，你在翻譯的時候替朕轉譯一下。
西向這條路線就更為曲折了，
我大魏對西域的控製並不算穩固，
柔然，高車，吐穀渾，康居等大國對我們的動向都很敏感，貿然動用大軍也非明智之舉。
所以，我大魏直接投入天竺戰爭比較困難。
但是兩國既然有意結為友邦，我們也自然沒有不聞不問的道理。
我大魏會向天竺派遣軍事專家和冶煉匠人，
但是朕也希望天竺可以用一樣東西來做交換。”
聖臣聽完姚思夏的翻譯，雖然有些失望，但仔細想想也的確是這個道理。
魏王允諾的，已經是眼下他們可以提供的最大幫助了。
隻是不知道魏王會索要什麽東西，難道是他故鄉的特產它山石？
它山石是重要戰略資源，當時世上隻有天竺有產，可惜魏王並不識得這玩意。
當聖臣提出疑問的時候，魏王的回答卻讓他啞然失笑，
“朕需要天竺的聖黃染料。
今之華夏印染明黃使用的還是黃帝赤精（鉻黃）這種名貴礦藏，
這種黃色礦粉見於河西，產量極低。
朕有意以黃袍代替漢製深衣，複黃帝君臨之儀表。
但是苦於原料稀缺，用於印染，實在肉疼。
朕聽說天竺聖僧服飾皆染黃，想來貴國必有特別的染料資源。
我魏國沒有辦法給予你們直接的軍事援助，因此朕的開口也不大。
些許染料，應該沒有問題吧？”
聖臣沒有半分猶豫，立即答應下來。
魏王胃口的確不大，這些授權他還是有的。
隻是說道這天竺聖黃，就又要講回溺金的神牛了。
雖然現代印度學者通過“嚴謹實驗”證明他們的聖牛吉爾牛尿液中真地可以提取出小黃金，
但是你們都懂的，不說破便好。
不過硬要說有神牛溺金的話，也不算是天方夜譚。
比如這聖黃的染料，便的確是牛溺所煉，
在上古遠銷歐亞，價值不菲，確實為天竺賺取了不少真金白銀。
天竺獸師以芒果飼牛，發現牛的消化係統無法分解芒果所含黃色素，會將所有的顯色物質通過尿液排出。
這些牛溺煉幹後便可作為染料使用。
染料中的黃色素歸根結蒂來自芒果，又經牛腎作用，變得易溶且色固性好，
可謂是非常原生環保的綠色工藝了。
》》》》》敲黑板時間《《《《《
中國皇帝服飾自隋朝開始取明黃袞龍袍，這時有據可查的。但是隋因魏製，所以在北魏這種風向應該已經開始了。漢代以來黃帝十二章袞袍不染明黃，主要是因為染料的稀缺。但天竺近熱帶，色澤鮮豔的自然植株更多，因此一直以來都不缺乏黃色染料。本文提到的牛溺印度黃，是真實古代工藝，成品曾經遠銷大英帝國，在現代紡織工業中也有運用曆史。
上一節關於天竺往事我們還沒講完。但是天竺史估計不是各位看官關注重點，略往後放一放應該不會太影響閱讀心情。倒是這算經，曆法兩項如果不給些合理的解釋，筆者大概馬上就要收到刀片了。
有很多事情，不做橫向對比，我們永遠不知道中國古代領先世界多少。在算學一道便是如此。阿耶波多，印度算學大家，地位和祖衝之在中國那是一般無二的。先略過曆法部分不談（後麵幾節再講）。阿耶波多在算學上最大的突破主要有三：將圓周率推演到了小數點後第五位（其實是精算四位）；總結了三角形麵積計算公式，提出了疑似三角函數的概念；在級數算法和極限理解上的突破。
單以這三點，比起當時中國的算學大家祖氏三代，我們都隻能用“籲~”來回複。
我們聽西方人評價中國數學，當然，他們會肯定許多無法被抹殺的事實，比如祖率，開方算法等等。但是總得來說，他們對中國數學還是有很深刻的歧視，說中國古代數學沒有無理數概念，沒有三角函數計算概念，所以能夠進行的計算是很初步的。
呸~
在本文正文裏已經說過，中國的算經注重計算，而且體係獨立，在概念上和西方完全是兩套方案。西方的現代數學，是用了古希臘的詞匯定義發展的，你覺得他們概念準確用詞準確，那是因為原生語言優勢。就像之前筆者曾經提過的，《幾何原本》是原本嗎？完全是用現代語言重翻的古希臘書籍。
<a id="wzsy" href="http://www.fantuankanshu.com">fantuankanshu.com</a>
中國確實沒有明確提出過“無理數”這麽一個概念。但是無理數的數學危機，一直到十九世紀末西方才有定論，最先發現無理數的人，被當做異端扔到海裏喂魚了！如果因為一個被世人拋棄的小眾學者的發現就認為西方率先掌握無理數，那麽是不是可以說中國的“宣夜說”證明中國已經掌握了宇宙的真相？是不是可以以《酉陽雜俎》證明中國率先登月？但是中國確確實實掌握了平方開方的算法，而且在《九章算術》中有整整一章的開方例題。不但平方，立方也可開。本文隻舉一例：
《九章算術?少廣》又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步。問為方幾何？
答曰：六萬三千二十五步。
開方術曰：……具體開方算法。
開方，在九章算術中作為基本算法之一。開平方和立方的籌算到了祖衝之時期已經相當成熟。《九章算術》相當於古代六藝數之一道的初中教材（這個後麵還會講）。所以討論類似根號二問題，在中國太幼稚了，太幼稚！
關於三角函數，這樣講吧。中國數學沒有采用刻度記角法，一直以來，采用的就是三角函數記角法。也就是勾股玄記角法。印度也同樣沒有。我們不講那些模棱兩可的說法，隻看實質，勾股玄的本質不就是三角運算嗎？
早在周朝《周髀算經》中，就有“勾股各自乘，並而開方除之”的說法。
《九章算術》曰：勾股術曰：勾股各自乘，並，而開方除之，即弦。又股自乘，以減弦自乘，其餘開方除之，即勾。又勾自乘，以減弦自乘，其餘開方除之，即股。
這就是中國自己的三角函數定義，正弦=勾/弦，餘弦=股/弦……類推。用勾股玄可以表達所有三角函數，可以用這些三角函數值標注所有角的大小。我們有自己的定義，公式和運算方法，為什麽要全盤照搬西方呢？你說中國沒有掌握直角三角型之外的解析幾何應用？拜托，解析幾何鼻祖笛卡爾是十七世紀數學家，和公元一世紀的張蒼，耿壽昌對比是不是有點略失公平？
中國關於三角關係的應用在測量學中大放異彩。美國數學家Fraz在看過劉徽所著《海島算經》的時候說，“中國在數學測量學的成就，超越西方約一千年。”是的，因為他們在一千年後才真正掌握三角複雜計算。三角學傳入中國的時候，中西方學者普遍認為，湯若望，徐光啟的《大測》並沒有超越《海島算經》的內容。舉一道海島算經例題：
今有望清淵下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又設重矩於上，其間相去四尺。更從勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。問水深幾何？答曰：一丈二尺。
術曰：置望水上、下股相減，餘以乘望石上股為上率。又以望石上、下股相減，餘以乘望水上股為下率。兩率相減，餘以乘矩間為實；以二差相乘為法。實如法而一，得水深。
這道例題可以看懂，高中古文，三角，幾何，全部畢業。由於不畫圖，無法講解這道題，所以關於這道題的具體算法，大家隻能自行百度了。
這《海島算經》在古代數學教材中屬於什麽水平呢？和九章算術一樣，也是初中教材。這節已經有點長了，關於古代數學教材，古代計數法和神奇的《綴術》那些事，我們下一章再說。