序章
不可以隻是記憶。
不可以無法回憶。
——小林秀雄
我無法忘記。
我無法忘記在高中時代一起研究數學的女孩們。
用優雅的解法震撼人心的才女，米爾迦。
認真提出疑問的活潑少女，蒂蒂。
每當想起那段時光，心中就會浮現出數學公式，並跟著展開活絡的思維。數學公式超越時間，向我展現歐幾裏得、高斯、以及尤拉等數學家的靈光一閃。
——數學是超越時間的。
藉由閱讀數學公式，我品嚐著從前數學家體會過的感動。即使這已在數百年前就被證明完畢也無所謂，現在的我確實地擁有完成這些邏輯的快感。
——用數學超越時間。
就有如深入叢林找出隱藏的寶藏。數學是個令人興奮的遊戲，以最佳的解法為目標，這是智力的競賽。數學，是令人心悸的戰鬥。
那時候，我開始使用名為數學的武器——但是這武器卻巨大到難以控製，就像無法控製自己的年少輕狂，就像無法控製對她們的深深思念。
不可以隻是記憶。
不可以無法回憶。
一切的開端，是在高一的那年春天……
第1章數列與規律
一、二、三。三即是一。
一、二、三。三即是二。
——大島弓子『綿の國星』
1.1在櫻花樹下
——高一那年春天。
開學典禮那天陽光普照。
「美麗的櫻花盛開……每個人都跑出了嶄新的一步……在這傳統的校舍裏……努力地讀書跑跳……少年易老學難成……」
校長的演講不斷誘導我進入夢鄉，我推了推眼鏡，忍住哈欠。
開學典禮結束後，回到教室的途中，我悄悄地離開校舍，一腳踏進了並排的櫻花樹道，漫步在周圍沒有任何人的路上。
我現在15歲。15，16，17……畢業的時候就18歲了，會經過一個4的倍數，還有一個質數。
15＝3x5
16＝2x2x2x2＝244的倍數
17＝17質數
18＝2x3x3＝2x32
現在教室裏的其它同學應該正在做自我介紹吧。我最不擅長自我介紹了，到底要說出什麽樣的自己呢？
「我喜歡數學。興趣是推演算式，請各位多多指教。」
這樣的說詞會讓大家目瞪口呆吧。
算了，頂多和國中時一樣靜靜地聽課，然後獨自在圖書室裏度過推演算式的三年吧。
這時，一棵格外巨大的櫻花樹出現在我的眼前。
一位少女正站在樹旁仰望著這棵櫻花樹。
她大概是新生。也跟我一樣是偷跑出來的嗎？
於是我也抬頭看著櫻花樹，昏暗的天色映入眼簾。
一陣風吹來，飛舞的櫻花將少女圍繞住。
少女看向我。
她有一副高挑的身材以及烏黑的長發。
緊閉嘴唇的臉上戴著金屬框的眼鏡。
她用清楚的發音念出：
「一、一、二、三。」
※※1123
念了四個數字之後，少女闔上嘴並指向我，似乎是在對我說：『你，就是你。請回答下一個數字是什麽？』
我的手也指向自己。
(要我回答？)
少女無言地點點頭，食指依然指著我。
這是怎麽回事？為什麽走在櫻花樹道的我必須要玩這種猜數字的遊戲呢？唔……答案是……
『1，1，2，3，……』
嗯，原來如此，我懂了。
「1，1，2，3之後是5，接著是8，再來是13，然後是21，接下來的數字是……」
少女將手心朝向我，這是停止的手勢。
這次是另一個問題，一樣是四個數字。
※※1427256
少女又伸手指向我。
這是測驗嗎？
『1，4，27，256，……』
我瞬間就找到了規則。
「1，4，27，256再來是3125吧。再來……我沒辦法用心算。」
少女皺了皺眉。她對回答『沒辦法用心算』的我搖搖頭，然後將答案告訴我。
「1，4，27，256，3125，46656，……」她的聲音十分清晰。
少女閉上了眼，接著像要仰望櫻花樹般抬起頭，她的食指不斷地在空中比劃。
少女的嘴裏仍然不停地念著數字。雖然她隻是輕聲吟詠、做著微小的動作，但是我的目光卻已經離不開這個奇異的女孩。她到底想做什麽？
然後她看向這裏。
※※6153577
又是四個數字。
『6，15，35，77，……』
這問題還頗難的，我努力讓頭腦運轉。6與15是3的倍數，但是35卻不是，而35與77是7的倍數……要是能寫在紙上的話，或許就能迅速解開了。
我稍微瞄了一下。櫻花樹下的少女仍然站在樹旁，並用相當認真的表情看著我，就連頭發沾上櫻花也不以為意。看到她這種認真的態度，這果然是測驗嗎？
「我知道了。」
我才剛說完，少女的眼睛就為之一亮，還露出些微的笑容。這是我第一次看見她的微笑。
「6，15，35，77之後是133。」我不自覺地提高音量。
但是少女卻搖搖頭，露出一副「真拿你沒辦法」的表情。風使她的長發飛舞，也令櫻花飄落。
「計算錯誤。」女孩的手指碰了碰眼鏡。
計算錯誤……唔……的確如此，11x13＝143才對，並不是133。
少女繼續發問：
※※62821018
這次是六個數，我稍微想了一下，最後的18真讓人頭痛，要是2的話就好了，這題看起來很像無意義的數字組合……不對……全都是偶數嗎？……我懂了！（joyj：讀者不必糾結，這個數列絕對是沒有任何一個人類能懂的……劇情需要，劇情需要）
「再過來是4，12，10，6，……還真是個過分的難題。」我說。
「是嗎？不過你不是也解出來了？」
她露出滿足表情的同時走到我的麵前伸出一隻手。她的手指相當細長。
(要握手嗎？)
我在搞不清楚的狀況下和她握了手，她有雙柔順而且溫暖的手。
「我是米爾迦，請多指教指數。」
這就是我與米爾迦的邂逅。
1.2自家
夜晚。
我喜歡夜晚。家人沉睡後就是我的自由時間。沒有任何人會打擾的世界，在那裏隻有我一人，攤開書本、探索世界、進入數學的叢林裏，發現稀有的動物、清澈的湖水、雄壯的巨木，並與無法想象的美麗花朵邂逅……
米爾迦。
明明隻是第一次見麵，卻談了奇怪話題的怪人。我想她一定很喜歡數學吧，在完全沒有任何說明的情況下，就突然進行起如同測驗般的數學問答。我合格了嗎？我回想起跟她的握手，那是非常柔軟的手；還回想起些微的香味，那是淡淡的女孩香。
女孩。
我將眼鏡放在書桌上，接著閉上眼回想與米爾迦的對話。
一開始的問題是1，1，2，3，5，8，11，……這是斐波那契數列。在1、1之後，將前麵兩數
相加形成下一個數。
1，1，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，……
下一個問題是1，4，27，256，3125，46656，……解法則是……
1<1次方>，2<平方>，3<立方>，4<4次方>，5<5次方>，6<6次方>，……
也就是說一般項為n<n次方>，4<4次方>或5<5次方>還好，不過6<6次方>的話我就無法心算了。
再來6，15，35，77，143，……則是這種規則……
2x3，3x5，5x7，7x11，11x13，……
也就是『質數x下一個質數』。11x13的計算錯誤是我的敗筆，被米爾迦明確地說出『計算錯誤』還真是不堪。
最後的問題，6，2，8，2，10，18，4，12，10，6……相當的難，因為這是十進製圓周率π的各分位數乘上2之後組成的數列。
π＝3.141592653……圓周率
→3，1，4，1，5，9，2，6，5，3，……各分位
→6，2，8，2，10，18，4，12，10，6，……各分位乘上2
這個問題必須熟記圓周率3.141592653……否則就無法解答，不靠記憶根本無法解答。（joyj：有記憶又有什麽用……咱怎麽也是個能背過圓周率前一百位的人，可是想了那麽半天不還是無解麽……）
記憶。
我喜歡數學，是因為比起記憶東西，我更喜歡思考。數學並不是要喚起陳舊的記憶，而是要拓展新的發現。記憶性的東西就隻能死記，像是人名、地名、單字、元素表，沒有第二種方法。但是數學不同，給予問題的條件，就像將材料和道具準備好放在桌上，勝負的關鍵不是記憶，而是思考。
……我是這麽想的。
但是，或許沒有那麽單純。
同時我也注意到為什麽米爾迦在出「6，2，8，2」的問題時，沒有隻說6，2，8，2，而是說到6，2，8，2，10，18的原因了。若是隻說6，2，8，2的話，解答就不一定隻有π各分位數乘上2這種可能性，還有其它更簡單的解答，例如6，2，8，2，10，……自然也有可能像下麵的數列一樣，也就是每個偶數項中插入n的數列。
6，2，8，2，10，2，12，2，……
米爾迦是在考慮到這個問題之後才這樣出題的。
『不過你不是也解出來了？』
她預測出我有辦法解答，還露出滿足的表情。
米爾迦。
在春天的陽光下與櫻花飛舞的風中，不遜於這幅風景的她就站在那裏，搖曳的黑發、有如指揮家般細長的手指，以及那雙溫暖的手與淡淡的香味。
不知為何，我的腦海裏已經揮不去她的身影。
1.3數列謎題沒有正確解答
「米爾迦，為什麽那時候你要出數列謎題呢？」我問道。
「那時候？」她停止計算並抬起頭。
這裏是圖書室，打開的窗戶吹進清爽的風，而窗外是一片梧桐樹綠，遠方還傳來棒球社練習的聲音……
現在是五月。
對新學校、新教室、新同學的新鮮感逐漸淡化，我回到了平淡無奇的日常作息。
我沒有參加任何社團，也就是所謂的回家社。話雖如此，放學後的我並不會立刻回家。在最後的班會結束後，為了能獨自推演算式，我通常會前往圖書室。
就和國中時一樣，我沒有參加社團，而是放學後在圖書室(國中稱為圖書間)看書，或是看看窗外的綠色，抑或是預習與複習功課。
其中最喜歡的還是推演算式。將課堂上出現過的公式在筆記本上重新組合、將原本的定義還原、重新導出公式、將定義變形、設想實例、品嚐變換定理的樂趣、思考證明方式……我喜歡將這些東西記在筆記本上頭。
不擅長運動、也沒有可以一起玩的朋友的我，最大的樂趣就是一個人而對筆記本的時候。雖然寫出算式的是我，但是並不是隨便怎麽寫都可以，而是有一定的規則。有規則就算一種遊戲，沒有比這更嚴密、更自由的遊戲了，這是曆史上的數學家們挑戰過的遊戲，隻有一支自動鉛筆、一本筆記本和我的腦袋就能進行的遊戲，我樂此不疲。
所以即使成為高中生，我也同樣地享受一個人在圖書室的樂趣。
但是，事實與原本的期望有些不同。
那就是到圖書室的學生不隻有我一個。
米爾迦。
她與我同班，而且她每三天會在放學後到圖書室一次。
每當我一個人計算的時候，她會將自動鉛筆從我的手中抽出，然後擅自在筆記本上寫字，先說明一下，這本筆記本是我的，該說她旁若無人還是自由自在呢？
不過我也不討厭她這樣做，她表現出的數學雖然困難，但是有趣、刺激，而且……
「你說那時候，是指什麽時候？」米爾迦咬著(我的)自動鉛筆回問著。
「就是第一次見麵的時候，在櫻花樹下……」
「啊，那個啊。沒什麽理由，隻是剛好想到罷了。怎麽突然問我這個？」
「沒什麽，突然想到而已。」
「喜歡那種謎題嗎？」
「應該不算討厭。」
「喔，那你知道『數列謎題沒有正確解答』這句話嗎？」
「什麽意思？」
「譬如1，2，3，4，你認為接下來是什麽？」米爾迦說道。
「當然是5吧。1，2，3，4，5……這樣下去。」
「然而，這並不是一定的。例如1，2，3，4，然後在這裏突然增到10，20，30，40，再增加到100，200，300，400……這樣也算是一種數列。」
「那樣太卑鄙了。開始隻說四個數，然後之後才出現『在這裏突然增加』之類的。誰能預測到1，2，3，4之後會是10啊？」
「是嗎？那要給你幾個數才可以呢？假如數列一直無限延伸的話，要提示到第幾個才夠呢？」
「……你所謂的『數列謎題沒有正確解答』就是這個意思嗎？提示的數之後有可能突然改變規律。不過，在1，2，3，4後麵突然接10的話，以問題來說未免太沒意義了。」
「世界上的事不就是這麽一回事嗎？不曉得之後會發生什麽事、與原先預測的不同……那麽，你能解出這個數列的一般項嗎？」
米爾迦一邊說，一邊將數列寫在筆記本上。
※※1，2，3，4，6，9，8，12，18，27，……
「嗯～～好像知道又好像不知道。」
「1，2，3，4之後應該是5吧。可是不是5而是6，在少數樣本中規則沒有出現，也就是說看不到規律。」
「嗯。」
「1，2，3，4，6，9，再來應該會更大吧，不過正好相反。9的下一個是比較小的8，原本覺得會越來越大的數列現在卻反過來了，你能看出它的規律嗎？」
「嗯～～除了一開始的1以外，出現的都是2和3的倍數，不過變小的部分就不太了解。」
「像這樣的話就可以說明了。」
2<0次方>3<0次方>，2<1次方>3<0次方>，2<0次方>3<1次方>，2<平方>3<0次方>，2<1次方>3<1次方>，2<0次方>3<平方>，2<立方>3<0次方>，2<平方>3<1次方>，2<1次方>3<平方>，2<
0次方>3<立方>，……
「像這樣以2和3的指數來思考的話，就可以看出結構了。」
「咦？我還是不太清楚。0次方是1，所以……
2<0次方>3<0次方>＝1，2<1次方>3<0次方>＝2，2<0次方>3<1次方>＝3，……
確實就像一個數列，不過……」
「嗯～～寫出指數了還是不懂嗎？那像這樣呢？」
2<0次方>3<0次方>——指數的和是0
2<1次方>3<0次方>，2<0次方>3<1次方>——指數的和是1
2<平方>3<0次方>，2<1次方>3<1次方>，2<0次方>3<平方>——指數的和是2
2<立方>3<0次方>，2<平方>3<1次方>，2<1次方>3<平方>，2<0次方>3<立方>——指數的和是3
（joyj：所以又是一道純粹惡心人的題目……）
「原來如此。」
「說到2與3的倍數……」米爾迦說到一半。
這時候圖書室的門口突然傳來呼喚她的聲音。
「米爾迦……差不多該走了吧！」
「啊，今天是練習的日子嗎？」
米爾迦把筆還給我並朝入口的女孩走去。在要走出圖書室之前，她轉頭向我說：
「找機會再跟你討論『假如世界上隻有兩個質數』的有趣話題吧。」
她留下我一個人離開了圖書室。
假加世界上隻有兩個質數？
這又是怎麽回事？
第2章名為算式的情書
我的心裏隻有你
一秩尾望都『ラーギニー』
2.1校門口
升上高二，不過隻是學年標誌從i變成ii，今天仍舊和昨天一樣沒有變化……在早上之前我是這麽認為的。
「請、請收下這個。」
在陰天的四月底，升高二後經過一個月的早上，我在校門口被一個女孩叫住。
她向我伸出的兩手中有一封白色的信，我糊裏糊塗地收下信，這個女孩向我行個禮後，就往校舍的方向跑走。
她的身高比我矮很多，也沒有看過的印象，大概是剛入學的新生。我急忙將信收入門袋並向教室走去。
上次收到女生的信是在小學的時候，那時我感冒請假休息，身為班長的女孩將作業以及「大家都在等你，要快點好起來回學校上課喔！」的信送到家裏……隻是單純的聯絡事項。
之前米爾迦說過『不曉得之後會發生什麽事』，的確沒錯，今天未必和昨天一模一樣。
口袋裏的信不斷在課堂中動搖著我的心。
2.2心算問題
「這是心算問題。1024的因子有幾個？」
現在是午休時間，正想把女孩的信拿出來的時候，米爾迦邊咬著巧克力棒邊走到我的身旁問問題。由於沒有換班，所以我和米爾迦二年級仍然同班。
「用心算？」我把信放回口袋。
「我數到10之前回答。0，1，2，3……」
等一下，1024的因子……能整除1024的數，1可以，2可以，3不行，1024不能被3整除，4的話可以。啊，對了！1024是2的10次方……我急急忙忙地計算。
「……9，10，時間到。幾個？」
「11個，1024的因子有11個。」
「正確答案，怎麽算的？」米爾迦一邊舔著拿巧克力的手指一邊等我回答。
「1024用質因子分解的話就是2的10次方，所以1024就會像這樣分解。」我說。
1024＝2<10次方>＝2x2x2x2x2x2x2x2x2x2——2有10個
我接著說：「1024的因子一定能整除1024，所以因子一定是2nxn從1到10，所以1024的因數為以下11個。」
2<0次方>，2<1次方>，2<平方>，2<立方>，2<4次方>，2<5次方>，2<6次方>，2<7次方>，2<8次方>，2<9次方>，2<10次方>
對於我的回答，米爾迦點了點頭。「答對了，那麽下一個問題。將1024的因數全部加起來的和是……」
「米爾迦，抱歉。中午我有點事，晚點再聊……」我說完之後站了起來。
我不顧被打斷話題、明顯露出不愉快表情的米爾迦，快速地走出教室。
打斷她出題真的很抱歉，1024的因子的和啊……我邊走向屋頂邊思考答案。
2.3信
即使是午休，屋頂上還是沒什麽人，是因為天氣不太好的關係吧。
信封裏裝著白色的信紙，上麵是用鋼筆橫寫的娟秀字體。
我是今年入學的蒂德菈，是跟學長就讀同所國中、小你一屆的學妹。因為想跟學長討論關於數學的事，所以寫了這封信。
雖然我對數學有興趣，不過國中的上課內容就讓我很吃力。聽說進高中之後數學會更深，很希望能解決這個問題。
非常抱歉在您忙碌的時候打擾了，希望能有機會與您商談。今天放學後我會在大型教室裏等您。
蒂德菈
我將這封信讀了四次。
原來她叫做蒂德菈啊，摩諾=迪=德莉=蒂德菈，跟我同所國中、小我一屆的學妹。不過我完全沒印象，不擅長數學的學生確實很多，尤其是新生。
……先不管這些，這封信還是像聯絡事情用的嘛……雖然有點失望，不過算了，這樣也好。（joyj：==你在期待什麽……）
放學後在大型教室見麵啊。
2.4放學後
「……算出來了嗎？」
結束了一天的課程，在我前往大型教室的途中，米爾迦突然問。
「2047。」我立刻回答，1024所以因數的和就是2047。
「是因為思考時間充裕吧。」
「大概……那明天見。」
「你要去圖書室嗎？」米爾迦的眼鏡閃了一下。
「不，今天大概不會去了，突然有點事。」
「喔……這樣的話，就出個回家作業吧。」
※※米爾迦出的回家作業
請說明一正整數n，求其「因數和」的方法為何？
「這是要使用n來表達因數和的算式嗎？」我問。
「不，隻要寫出求的過程就好了。」
2.5大型教室
「對不起。找你出來……這個……」
剛進大型教室，就看到蒂蒂一個人緊張地等著，胸前還抱著筆記本和鉛筆盒。
「我、我想和學長談一談，可是又不知道該怎麽辦。我朋友說在這裏的話會比較方便，所以……」
這個大型教室必須從主校區繞過小小的中庭才能到達，主要在物理和化學課時使用。教室由階梯構成，最下階是講台，這是為了讓學生方便看清楚教室實驗操作的配置。
我和蒂蒂坐在最後一排的長椅上，我從口袋中拿出今天早上的信。
「我已經看了這封信了。但是不好意思，我不太記得你。」
她的右手立刻在臉前左右搖晃。
「沒關係，我也覺得你不會記得我的。」
「而且，為什麽你會認識我啊？我在國中時應該不怎麽顯眼才對。」沒參加社團、放學後隻到圖書間的人應該不會引人注目。
「啊，這個……學長你很有名喔。我……那個……」
「算了……你說想談談有關
數學不拿手的事情，可以說明得再詳細一點嗎？」
「啊，好的，謝謝您……我從小學開始就覺得數學的問題很有趣。但是進國中後，不管是上課還是看課本，都常常覺得『無法完全理解』。到高中之後，老師又說數學很重要，要好好學習，所以才想要解決『無法完全理解』這個問題。」
「原來如此。所以就是因為有『無法完全理解』的問題，你的成績也不是很好囉？」
「不，這個的話……」
蒂蒂邊將食指指甲放在嘴唇上邊思考，擁有一頭短發、靈活滾動雙眼的蒂德菈給人的感覺像是活潑的小動物鬆鼠或是小貓之類的。
「像段考之類有一定範圍的考試，就不會有太大的問題。但是像模擬考，有時候就會考得很差，中間會有蠻大的落差。」
「上課呢？上課的時候聽得懂嗎？」
「上課啊……老師教的時候好像都聽懂了。」
但是卻無法完全理解？
「是啊，無法完全理解。多多少少能解題，上課也好像聽得懂。可是實際上卻沒有完全理解。」
2.5.1質數的定義
「那麽我再問得更具體一點，你知道質數嗎？」
「……嗯，應該知道。」
「應該知道啊……那你說說看質數的定義，就是回答『什麽是質數』。不需要用算式，用自己的說法表達就可以了。」
「什麽是質數？嗯～～像5或7之類的嗎？」
「嗯，5和7都是質數沒錯——但是5和7都隻是質數的一個例子。「舉例」和「定義」並不一樣。什麽是質數？」
「啊，好的。質數就是……『隻有1和自己本身能整除自己的數』吧，這是數學老師叫我們一定要記起來的定義。」蒂蒂點點頭說。
「也就是說，你認為這個定義是正確的？」
『當正整數p隻能被1與p整除時，p為質數』(？)
「嗯，我覺得這是正確的。」
「不，這定義是錯的。」
「咦？假如拿5當例子的話，隻有1和5可以整除啊。」
「嗯，5是質數沒錯。但是照這個定義的話，1也會變成質數了。因為當p用1代入時，p隻能被1與p整除這點是符合的，但是1並不包含在質數之內。最小的質數是2，將質數由小到大排列，會像下麵的數列一樣從2開始。」
2，3，5，7，11，13，17，19，……
我繼續說下去：「所以前麵的定義是錯的，質數的定義應該如下麵所寫……」
『當正整數p隻能被1與p整除時，p為質數，但1除外。」
「或是從一開始就定下條件。」
『p為大於1的整數，當正整數p隻能被1與p整除時，p為質數。』
「條件用算式也可以。」
『整數p＞1，當p隻能被1與p整除時，p為質數。』
「1不是質數啊。的確，老師好像也是這樣教的，我能懂學長寫的定義了。但是……」
蒂蒂突然拾起頭。
「我知道了，質數不包含1。不過我還是不能認同，為什麽質數不能包含1呢？包含進去會有什麽不合理的地方嗎？我不懂質數不能包含1的rationale。」
「rationale？」
「就是正當的理由、原理的說明、理論的根據。」
喔～～這女孩也知道認同理由的重要性啊。
「……學長？」
「啊……抱歉。為什麽質數不能包含1呢？很簡單，是因為質因子分解的唯一性。」
「質因數分解的唯一性？唯一性是什麽？」
「所謂質因數分解的唯一性就是指一正整數n的質因子分解隻有一種。例如說24的質因子分解隻有2x2x2x3一種。啊，在這裏不考慮數字的排列順序，像2x2x3x2或3x2x2x2之類，雖然順序不同仍然視為同樣的質因子分解。質因子分解的唯一性在數學裏是相當重要的，為了要遵守這個性質，所以就定義1不能為質數。」
為了要遵守這個性質？因為這個原因就可以擅自定義嗎？」
「可以的。雖然說擅自有點誇張……數學家會找出對構成數學世界有用的數學概念，然後將它命名，這就是定義。將概念清楚地規定下來，就能勉強算是定義了。但是，可以定義和這個定義能不能派上用場又是兩回事。在你的定義裏，質數包含1，會使質因子分解的唯一性消失。話說回來，你懂質因子分解的唯一性了嗎？」
「唔，懂了……吧。」
「嗯～～為什麽說『吧』？必須確定自己是否理解才行。」我特別強調了『自己』。
「要怎麽確定自己是否理解了呢？」
「例如舉個適當的例子來確定是否理解了。『舉例是理解的試金石』。雖然舉例並非定義，但是適當地舉例也是一種很好的練習。」
『舉例若質數包含1，則質因子分解的唯一性無法成立』
「原來是這樣。假如質數包含1，則24的質因子分解，就會像這樣有很多種……」
2x2x2x3
1x2x2x2x3
1x1x2x2x2x3
.
.
.
「是的。這就是質因子分解的唯一性無法成立的例子。」
我的話讓蒂蒂鬆了一口氣，
「但是與其說『很多種』，不如用『複數個』或『2個以上』的方式表現。這是因為……」
「……因為比較嚴密？」蒂蒂馬上接下去。
「沒錯，『很多種』這種表達方式並不嚴密。幾個以上算是很多？這樣界線就很模糊。」
「學長……我似乎也要先整理一下我的腦袋才行了。關於『定義』、『舉例』、『質數』、『質因子分解』、『唯一性』……還有嚴密的表達，在數學裏用詞也是很重要呢！」
「沒錯！你很聰明。在數學裏語言是很重要的。要盡可能避免誤會，所以數學才會使用嚴密的用語，而其中最嚴密的語言就是算式。」
「算式……」
「那麽進入數學的語言——算式的話題吧。因為要用到黑板，我們到下麵去。」
我走向大型教室的前方，蒂蒂則跟在後麵，才剛走幾步就聽到一聲」啊！」接著我的背後感受到一陣衝擊。
「哇！」
「對……對不起。」
蒂蒂被樓梯絆倒，撞向我的背後，在兩個人快要跌倒的時候，我總算站穩腳步，真危險。
2.5.2絕對值的定義
「……那麽接下來，你知道絕對值嗎？」我們麵向黑板並排站著。
「嗯，應該知道。5的絕對值是5，－5的絕對值也是5，去掉負號就好了吧。」
「嗯～～那麽我寫出的絕對值定義，你覺得這樣可以接受嗎？」我在黑板上列式。
※※的絕對值||的定義
||＝(≥0的情況)
||＝－(＜0的情況)
「啊……這樣表示的話，我就想到問題了。既然是的絕對值，把負號拿掉還出現不是很奇怪嗎？」
「『把負號拿掉』以數學來講是很曖昧的說法。雖然能夠理解意思，也大致上符合定義。」
「那麽『把負的變成正的』呢？」
「一樣很曖昧。那麽－的絕對值是什麽？」我在黑板上寫下式子。
|－|
「因為要把負號去掉，答案是吧。所以說就是|－|＝。」
「不對，假如＝－3的
話呢？」
「咦？＝－3的話……」蒂蒂也在黑板上演算。
|－|＝|－(－3)|因為＝－3
＝|3|所以－(－3)＝3
＝3最後|3|＝3
「假如像你說的|－|＝的話，＝－3時，就會變成|－|＝－3.可是實際上是|－|＝3，所以才會變成|－|＝－。」
聽著我的說明、看著黑板上的式子，蒂蒂細細思索。
「啊！原來如此，也有可能是負的，這種狀況的話，負負就會得正，我看到就不自覺地想到3或5之類的正數了。」
「是啊，因為前而並沒有任何符號表示，所以通常不會想到會等於－3之類的負數，但是這卻很重要。特別使用就是表示即使不用很多實例來說明，也可以具體地定義絕對值。『絕對值就是把負號拿掉』這種說法太過籠統，必須更進一步地確認才行，或許你可能會覺得在挑毛病，不過嚴密的思考是必要的，習慣這種嚴密的思考就能習慣算式，甚至是數學也說不定。」
蒂蒂在最前排找了個座位坐下，她一邊用手指撥弄筆記本邊緣，一邊沉思。
而我則在等待她的發言。
「我的國中生活好像都浪費了。」
「怎麽說？」
「我本來覺得我還算用功的。但是我不曾嚴密地讀過課本裏麵的定義和算式。我的數學一定是念得很鬆散吧。」
她深深地歎了一口氣，表現出一副很失望的樣子。
「……我說你啊。」
「咦？」蒂蒂看向我。
「假如你真的這麽想的話，從現在開始不就好了。過去的已經過去了，你是活在現在啊，把現在發現的事情在未來改變就可以了。」
蒂蒂突然睜開眼睛，然後站了起來。
「是……是啊，後悔過去的事也沒用。邁向未來就好了……謝謝你，學長。」
「嗯，今天就先到這裏為止吧，天色也漸漸暗了，接下來的下次再講解。」
「接下來的？」
「嗯，我放學後大部分都會待在圖書室，假如你有什麽想問的，到那裏找我就可以了，蒂蒂。」
她的眼中一瞬間浮現光輝，很高興地露出微笑。
「好的！」
2.6回家的路上
「唉呀，下雨了。」
剛走出校舍門口的蒂蒂望向天空，烏雲密布的天空開始下雨。
「你沒帶傘嗎？」
「雖然有看天氣預報，不過早上出門太趕，所以就忘記了。不過沒關係，隻是小雨，用跑的就好了。」
「這樣到車站前就會淋濕了。反正順路，而且我的傘也夠大，一起走吧。」
「不好意思……謝謝學長。」
這似乎是我第一次跟女孩子共撐一把傘，我們漫步在柔和的春雨之中，雖然我有點不習慣，不過還是配合著她的步調漸漸地沉穩下來，或許是這陣雨吸收了城市的喧囂，街道一片靜寂。
今天跟她聊了一段時間，感覺很愉快，我也沒想到竟然會有個崇拜自己的可愛學妹，和蒂蒂聊天很輕鬆，從她的表情就可以知道她有沒有聽懂。
「為什麽學長會知道呢？」
「知道什麽！？」
「就是……就是今天談的那些數學，有關我不懂的部分，為什麽學長會知道我哪裏不懂呢？」
啊～～嚇到我了，我還以為蒂蒂會心電感應。
「因為今天談到的論題，也就是質數和絕對值的部分，我也曾經抱持疑問。讀數學的時候，為不懂的地方感到困擾、在想了好久、讀了很多書之後，才發現『啊，原來如此！』這是相當不錯的體驗，在累積這些體驗後，會漸漸對數學產生興趣，進而變得拿手。啊，在前麵轉彎吧。」
「轉彎。是『thebendintheroad』吧……從這條路也能到車站嗎？」
「嗯，從這裏轉彎、穿過住宅區會比較快到車站。」
「會比較快到嗎？」
「是啊，早上從這裏走也會比較快喔。」
咦？蒂蒂的速度突然慢了下來，是我走太快了嗎？果然要配合步調不太容易。
到了車站。
「因為我等一下還要到書店去，就在這裏說再見了。對了，傘先借你吧。」
「啊，就到這裏嗎？呃……這個……」
「嗯？」
「沒……沒什麽事情。那傘我就收下了，明天我會還你的，今天真謝謝你。」
蒂蒂將兩手放在前麵深深地鞠躬。
2.7自家
夜晚。
我在房間裏回想今天與蒂蒂的互動，她既純真又有衝勁，之後應該會繼續成長吧，要是能讓她知道數學的樂趣就好了。
和蒂蒂說話的時候，我擺出的是教導者的姿態，這與米爾迦說話的時候有很大的不同。米爾迦始終都一直保持主動，或許該說是我一直被教導吧。
拿出米爾迦出的回家作業。竟然被同班同學出回家作業啊……
※※米爾迦的回家作業
請說明一正整數n，求其『因子和』的方法為何？
這個問題隻要把n的全部因子找出來就好了。找出來之後再把它們加起來，就成『因子和』了。但是這種回答未免太過無趣，必須尋找更進一步的答案才行……嗯，先將整數n質因子分解。
用午休時1024＝2<10次方>的問題將題目稍微廣義化，例如先將n以質數的乘冪表現。
n＝p<m次方>p為質數，m為正整數
當n＝1024時，上式變成p＝2，m＝10，用同樣的方法思考1024的所有因子如下。
1，p，p<平方>，p<立方>，……，p<m次方>
所以在n＝p<m次方>的狀況下，n的『因子和』求法如下。
(n的因子和)＝1＋p＋p<平方>，p<立方>＋……＋p<m次方>
以上，就能回答整數n＝p<m次方>的因子和了。
之後再廣義化……就是這樣，並沒有那麽難，隻要用和質因子分解一樣的寫法。
正整數n通常能如下質因子分解，設p，q，r，……為質數，a，b，c，……為正整數。
n＝p<a次方>xq<b次方>xr<c次方>……x等一下！
等一下，使用英文字母的話無法做廣義性的表現，假如指數部分用a，b，c，……表示的話，很快就會到達p，q，r……了。這樣會使算式變得混亂。
要以2<立方>x3<1次方>x7<4次方>……x13<立方>這樣的形式，也就是質數<正整數次方>的乘積書寫。
……既然如此，那就這麽做，質數以p<0>，p<1>，p<2>，……表示，而指數以a<0>，a<1>，a<2>，……a<m>表示。像這樣以標記0，1，2，3，……，m書寫，雖然算式會變得很複雜，但是可以做廣義性的表現，在這裏m＋1代表『將n質因子分解時質因數的個數』，可以改成這種寫法……
正整數n可以如下質因子分解，其中p<0>，p<1>，p<2>，……，p<m>為質數，a<0>，a<1>，a<2>，……，a<m>為正整數。
n＝p<0><a<0>次方>xp<1><a<1>次方>xp<2><a<2>次方>x……xp<m><a<m>次方>
其中n為上述結構時，n的因子則以下列表示。
p<0><b<0>次方>xp<1><b<1>次方>xp<2><b<2>次方>x……x
p<m><b<m>次方>
其中b<0>，b<1>，b<2>，……，b<m>為整數，且符合以下條件。
b<0>＝0，1，2，3，……，a<0>的其中任一數
b<1>＝0，1，2，3，……，a<1>的其中任一數
b<2>＝0，1，2，3，……，a<2>的其中任一數
b<m>＝0，1，2，3，……，a<m>的其中任一數
……嗯，雖然寫得很完整，但是相當囉唆，簡單來說就是質因子的指數隨著0，1，2，……一直變化就是因子了，通常要廣義化都需要很多的文字敘述。
而廣義化到這裏，接下來就簡單了，隻要把因子全部加在一起就是因數和。
(n的因數和)＝1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0><a<0>次方>
＋1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0><a<1>次方>
＋1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2><a<2>次方>
＋……
＋1＋p<m>＋p<m><平方>＋p<m><立方>＋……＋p<m><a<m>次方>(？)
……不對不對，這並不是『全部因子的和』，而是因子中按照質因子乘冪排列的數字和。實際的因子應該是像……
p<0><b<0>次方>xp<1><b<1>次方>xp<2><b<2>次方>x……xp<m><b<m>次方>
……將質因子的乘冪全部組合之後，挑選出來合並在一起，這才是正確的和。用語言說明很難理解，就用算式表達吧。
(n的因子和)＝(1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0><a<0>次方>)
(x1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0><a<1>次方>)
(x1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2><a<2>次方>
(x……
(x1＋p<m>＋p<m><平方>＋p<m><立方>＋……＋p<m><a<m>次方>
※※米爾迦的回家作業的解答
將正整數n如下做質因子分解。
n＝p<0><a<0>次方>xp<1><a<1>次方>xp<2><a<2>次方>x……xp<m><a<m>次方>
而其中p<0>，p<1>，p<2>，……，p<m>為質數，a<0>，a<1>，a<2>，……，a<m>為正整數，此時則由以下算式得n的因子和。
(n的因子和)＝(1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0><a<0>次方>)
(x1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0><a<1>次方>)
(x1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2><a<2>次方>
(x……
(x1＋p<m>＋p<m><平方>＋p<m><立方>＋……＋p<m><a<m>次方>
還能不能再寫得更簡潔一點呢？……嗯……不過這是答案沒錯。
2.8米爾迦的解答
「正確解答，雖然看起來很複雜。」
隔天米爾迦看到我的答案時很幹脆地下結論。
「有辦法寫得更簡潔嗎？」
「可以。」米爾迦立刻回答，「首先，在和的部分可以用下麵的式子代替，限定1－≠0的狀況下……」米爾迦一邊回答，一邊在我的筆記本上寫下……
1＋＋<平方>＋<立方>＋……＋<n次方>＝(1－<n+1次方>)/1－
「原來如此。」我說。這是等比數列的求和公式。」
「馬上就可以證明。」米爾迦繼續說。
1－<n+1次方>＝1－<n+1次方>兩邊是同一個算式
(1－)(1＋＋<平方>＋<立方>＋……＋<n次方>)＝1－<n+1次方>將左式因子分解
1＋＋<平方>＋<立方>＋……＋<n次方>＝(1－<n+1次方>)/1－兩邊同除1－
「這樣一來，你寫的乘冪部分的和就全部變成分數了。然後積的部分就用n。」
「n是π的大寫……」我說。
「對，但是這和圓周率沒關係。n(product)是∑(sum)的乘法形式。隻是剛好積(product)的第一個英文字母p的希臘文字是n而已，而同樣和(sum)的第一個字母s的布臘文字是Σ一樣，n的定義式如下。」米爾迦繼續講解。
n<k=0到m,f(k)>=f(1)xf(2)xf(3)x……xf(m)定義式
「用n的話，積的部分就可以簡潔地表示。」她說道。
※※米爾迦的解答
正整數n質因子分解如下。
n＝n<k=0到m,p<k><a<k>次方>>
設pk為質數，ak為正整數。
此時則由以下算式得n的因子和。
(n的因數和)＝n<k=0到m,(1－p<k><a<k+1>次方>)/(1－p<k>)>
「原來如此，雖然變短，不過文字也變多了。話說回來，米爾迦你今天會去圖書室嗎？」我問。
「不會，今天要去英英那裏練習，她作出新曲子了。」
2.9圖書室
「學長你看，我從國中的課本裏把定義全部抄下來了。這樣我就可以自己練習舉例了。」
蒂蒂找到在圖書室算數學的我，並笑著攤開筆記本。
「喔～～真厲害。」竟然一個晚上就做好了。
「我很喜歡做這個喔，就像做單字本一樣……重新看過課本一次後我才發現，算數和數學有很大的不同點，就是式子裏是否有文字，對吧，學長？」
2.9.1方程式與恒等式
「……那麽，說到關於文字與數學公式的話題，就來談談方程式與恒等式。蒂蒂有解過這個方程式吧？」
－1＝0
「啊，有的，答案是＝1吧。」
「嗯，這樣－1＝0這個方程式就解開了。那這個方程式呢？」
2(－1)＝2－2
「好的，我列式算算看。」
2(－1)＝2－2這是題目
2－2＝2－2將左邊展開
2－2－2＋2＝0再將右邊移項
0＝0計算結果
「咦？變成0＝0了。」
「實際上2(－1)＝2－2這個算式不是方程式而是恒等式。將左邊的2(－1)展開，就會變成和右邊的2－2一樣。也就是說，無論代入任何數，這個算式都會成立。正因為它永遠都成立，所以叫做恒等式，更精確的說法是對的恒等式。」
「方程式與恒等式不一樣嗎？」
「不一樣，所謂的方程式是『當代入某數時，此算式成立』，而恒等式則是『無論代入任何數，此算式皆成立』，兩者相當不同，由方程式衍生出來的會是『求出能讓此算式成立的某個數』這種問題，而恒等式衍生出來的則是『此算式是否代入任何數皆成立？』變成要證明是否為恒等式的問題。」
「原、原來如此，之前都沒有注意到這種差別。」
「嗯，通常是不會
注意到的，不過注意一下會比較好，畢竟大部分的公式都是以恒等式的形式出現。」
「有辦法一看到算式，就知道它是否為恒等式嗎？」
「有時候可以有時候不行，有時候也必須從敘述中判斷，也就是說，必須去判斷寫這個算式的人到底是想要寫方程式還是恒等式。」
「寫算式的人……」
「當一個算式在變化的過程中，都算是恒等式，來看看這個算式。」
(＋1)(－1)＝(＋1)x－(＋1)x1
＝x＋1x－(＋1)x1
＝x＋1x－x1－1x1
＝<平方>＋－－1
＝<平方>－1
「一直都用等號連接，像這樣無論代入任何數，等式都必然成立，也就是變成了一連串的恒等式，一步一步地慢慢來，最後就能得到下麵這個恒等式。」
(＋1)(－1)＝<平方>－1
「原來如此。」
「這一連串的恒等式就是為了要讓人理解才把算式的變化像慢動作一樣表現，所以不要有『啊，好多算式喔』這種負麵想法，一步一步慢慢了解就好……知道了以後來試試看這個算式。」
<平方>－5＋6＝(－2)(－3)
＝0
「兩個等號之中，第一個等號構成了恒等式，也就是『<平方>－5＋6＝(－2)(－3)對所有皆成立』，而第二個等號則是構成方程式。因此上麵這個算式全部代表『用(－2)(－3)＝0來代替<平方>－5＋6＝0求解的意思』。」
「喔～～原來是要這樣理解啊……」
「除了方程式與恒等式，還有定義式。當一個複雜的式子出現時，將它賦予一個名字，進而簡化式子，要賦予名字的時候就使用等號，定義式無法像方程式那樣可以解開，也不用像恒等式一樣需要證明，隻要自己方便就可以了。」
「所謂的定義式，可以舉個例子嗎？」
「譬如將有點複雜的式子α(alpha)＋β(beta)賦予s這個名字。所謂命名——也就是定義——就像下麵的式子。」
s＝α＋β定義式的例子
「學長，我有問題！」
蒂幫活潑地舉起手，由於距離很近，即使不用舉手也沒關係，真是個有趣的女孩啊。
「學長，到這裏我已經快不行了，為什麽要用s呢？」
「其實用什麽都可以。隻是取個名字，不管是s還是t都行，當你定義s＝α＋β之後，後麵要表示α＋β時隻要用s來代替就可以，假如善用定義，就能將算式表現得清楚易懂。」
「我知道了，那α和β又是什麽呢？」
「嗯，這是指在別的地方被定義的文字。當寫成s＝α＋β的時候，一般就是指用等號左邊的文字來將等號右邊的算式命名，也就是說，在定義好α和β構成的算式中，可以用s取代。」
「定義式用什麽名字都可以嗎？」
「是的，基本上什麽都可以，但是不能用已經被定義成其它意思的符號。舉例來說，當已經定義s＝α＋β，倘若之後又定義s＝αβ，那閱讀的人就會混亂了。」
「說得也是，這樣就沒有命名的意義了。」
「還有，若是使用常出現的符號，例如圓周率的π或是虛數單位i等等，也會變得很奇怪。當算式中出現新的符號時，先別急，可以先想想『啊，這是不是定義式呢？』。假如文中有出現像，『s定義為以下……』或是『使α＋β為s』之類的說明，那就一定是定義式了。」
「原來是這樣……」
「是啊，蒂蒂。這次就試著找出數學的書中含有文字的等式吧，像方程式、定義式，或是其它的式子。」
「好的，我會試試看。」
「數學的書裏有很多的算式，這些算式都是某人為了傳達自己的想法寫下的，這些算式的背後一定會有傳達這些訊息的某人。」
「傳達訊息的某人……」
2.9.2積的形成與和的形式
「接下來，在閱讀算式的時候，注意算式整體的形式是很重要的。」
「整體的形式？是什麽意思？」
「譬如這個方程式。」
(－α)(－β)＝0
算式的左邊是乘法，也就是積的形式，一般來說，構成積的每個算式被稱為因式或因數。
(－α)(－β)＝0
↑因式↑
「所謂的因式和因子，跟因式分解有關係嗎？」
「有的，因式分解是將算式分解為積的形式，質因子分解則是分解成質數的積的形式。通常會將乘法的x號省略，所以下麵3個算式的意思是一樣的，都是相同的方程式。」
「有的，因式分解是將算式分解為積的形式，質因子分解則是分解成質數的積的形式。通常會將乘法的x號省略，所以下麵3個算式的意思是一樣的，都是相同的方程式。」
(－α)x(－β)＝0使用x的時候
(－α)x(－β)＝0使用x的時候
(－α)(－β)＝0省略的時候
「好的。」
「然後由於(－α)(－β)＝0，所以兩個因式之中，至少會有一個等於0，這是因為積的形式導出來的結論。」
「我懂了，由於兩數相乘結果為0，所以其中會有一個為0。」
「在敘述上，將『其中一個為0』用『至少會有一個為0』比較好，因為有可能兩邊都是0。」
「啊，『至少會有一個為0』也是一種嚴密的表現嗎？」
「沒錯。那麽，當兩邊至少會有一個為0，就表示－α＝0或－β＝0成立。換句話說，＝α，β就是這個積方程式的解。」
「好的。」
「再來試著將(－α)(－β)展開，你覺得下麵這個算式是方程式嗎？」
(－α)(－β)＝<平方>－α－β＋αβ
「不對不對，這是恒等式。」
「很好，展開之後就從積變成和了，左邊是積的2個因式，右邊是和的4個項。」
「項？」
「構成和的每一個式子稱為項，為了讓你容易懂，我用括號括起來，就像這樣。」
從左向右轉化：展開
(－α)(－β)＝(<平方>)＋(－α)＋(－β)＋(αβ)
從右向左轉化：因式分解
「不過這算式還沒經過整理，看起來有點亂，你要怎麽整理呢？」
<平方>－α－β＋αβ
「是的，把－α或－β這一類帶有的……」
「不是『帶有』，要念成『項』喔。像－α或－β這些隻含有一個的項稱為『對的一次項』或是直接稱為『一次項』。」
「好的，將『對的一次項』整理過後就變成這樣子了。」
<平方>－(α＋β)＋αβ
↑把1次項整合
「蒂蒂，你知道像上述把算式變形稱為『整合同類項』嗎？」
「我知道『整合同類項』，不過之前都沒有特別留意。」
「那我繼續出題，下一個算式是恒等式呢？還是方程式？」
(－α)(－β)＝<平方>－(α＋β)＋αβ
(－α)(－β)＝<平方>－(α＋β)＋αβ
「這是展開之後整合同類項，對所有皆成立的話……是恒等式。」
「正確答案……那麽再往前，首先思考這個方程式吧，這次是積的形式。」
(－α)(－β)
＝0積的形式的方程式
「使用剛才的恒等式，將方程式變成下麵這樣。這就是和的形式的方程式。」
<平方>－(α＋β)＋αβ＝0和的形式的方程式
「這兩個方程式雖然形狀不同，卻是同樣的方程式，隻不過是用恒等式將左邊的算式改變型態而已。」
「是的。」
「當我們看到積形式的方程式時，就要想到方程式的解為＝α，β，而和形式的方程式的解同樣也是＝α，β，畢竟是同樣的方程式。」
(－α)(－β)＝0積的形式的方程式(答案是＝α，β)
↑
↓
<平方>－(α＋β)＋αβ＝0和的形式的方程式(答案同樣是＝α，β)
「簡單的二次方程式隻要用看的就能解答，例如你比較下麵這兩個方程式，是不是長得很像？」
<平方>－(α＋β)＋αβ＝0(答案是＝α，β)
<平方>－5＋6＝0
「的確很像。α＋β會等於5，αβ會等於6。」
「對，也就是說<平方>－5＋6＝0的解，隻要找出兩個數相加會等於5，相乘會等於6即可。換句話說，＝2，3。」
「的確是這個答案。」
「積的形式與和的形式都是算式的形式之一。和的形式＝0有時並不容易解，但是積的形式＝0時就一目了然了。」
「……啊，好像有『懂的感覺』了，『解方程式』和『做出積的形式』有很大的關係吧？」
2.10數學公式的背後是誰？
「為什麽學校的老師沒辦法像學長一樣教得那麽仔細呢？」
「因為我和你是在對話，當你有疑問的時候立刻問我，而我立刻回答，所以才會覺得比較好懂。因此才能一步一步地向前邁進，不要隻是聽老師上課，不懂的地方也可以請教老師……原本回答問題就是老師的專職啊。」
蒂蒂認真地聽著我說話，然後像突然想到什麽似說出：
「學長讀書的時候碰到不懂的地方會怎麽辦？」
「嗯～～假如一直讀都不懂的話，就在書上先做個記號，然後繼續往下讀，讀一陣子之後，再回到原先做記號的地方讀一次，再不懂，就再往下讀，或是讀其它的書，反複來回好幾次，以前我有碰過無論怎麽想都想不出來的算式展開，在經過四天的思考後認為絕對是它寫錯了，所以我就向出版社詢問，結果真的是印錯了。」
「好厲害……不過像這樣慢慢想不是很花時間嗎？」
「是很花時間、非常花時間，不過這是當然的。想想看，在算式背後都有一段曆史，當我們在讀算式的時候，就像是和無數的數學家格鬥，會花時間理解是一定的。當我們展開一道算式，就是超越了幾百年的時光；在我們麵對算式時，我們都是個小小的數學家。」
「小小的數學家？」
「是啊，為了要成為數學家而仔細地閱讀算式，不隻是讀，還要動手寫。我時常都在懷疑自己是否真的理解了，所以我會用寫的確認。」
蒂蒂點頭興奮地說：
「學長說的『算式就是語言』，我也感覺到了，在算式的背後有著某人想要傳達給我的訊息，這個某人或許是學校的老師，或許是編寫課本的人，也或許是幾百年前的數學家……不知不覺間就會越來越想讀數學了。」
蒂蒂仿佛懷抱夢想似地說出感想。
話說回來，蒂蒂在校門口叫住我，就是希望『想跟我談談』。
她邊發出了「嗯～～」的聲音邊伸伸懶腰，然後仿佛自言自語地呢喃：
「啊～～、果然我的心被學長的話語……」
說到一半的她急忙用手搗住嘴巴。
「我的話語？」
「不……沒事……什麽事情都沒有……」
蒂蒂的臉上染上了一片紅色。
第3章w的華爾茲(無名之聲：這標題太美了)
數學的本質是自由。
——康托爾
3.1在圖書室
來到夏天。
今天是期末考結束的日子，我正在圖書室裏推演算式，這時米爾迦進入圖書室，筆直地向我走來。
「旋轉？」她站在我身後看著我的記事本。
「嗯。」
米爾迦戴著金屬框的眼鏡，鏡片上了一層薄薄的藍色，這讓我意識到眼鏡後麵那冷靜的瞳孔。
「隻要思考軸上的單位v式tor向哪裏移動就能懂了，沒必要記吧。」
米爾迦看著我說出結論，她的用語常常很直接，而且還有點怪，總是把向量用v式tor表達。（joyj：別問我，我也不知道這是什麽東西）
「沒關係，隻是練習。」
「假如要推演算式的話，做兩次θ的旋轉就很有趣喔。」米爾迦在我旁邊坐下，並靠近我的耳邊小聲地說，她的θ是用英文zeta發音，從舌頭與齒間擦過的空氣搔著我的耳朵。
「將θ旋轉兩次，然後將算式展開，再來思考『θ旋轉兩次就等於2θ的旋轉』，可以得到兩個關於θ的恒等式。」
米爾迦拿走我手上的筆，在筆記本的右端用小字寫上兩行式子，同時米爾迦的手也碰到了我的手。
cos2θ＝cos<平方>θ－sin<平方>θ
sin2θ＝2sinθcosθ
「這是什麽？」
看著筆記本上的公式，我在心中回答著(兩倍角公式)，但是卻沒有出聲。
「不知道？這是兩倍角公式啊。」
米爾迦站起身，我聞到了淡淡的橘子香。
她開始擺起教師的姿態，不等我回答就繼續說下去，不過一直以來都是如此。
「將θ角的旋轉表示在下麵的式子。」米爾迦說。
◎◎◎
將θ角的旋轉表示在下麵的式子。（joyj：以下為詭異內容……一介高中生不懂，請多包涵）
|cosθ－sinθ|
||
|sinθcosθ|
『將θ角連續旋轉2次』就相當於上式的平方。
|cosθ－sinθ|<平方>|cos<平方>θ－sin<平方>θ－2sinθcosθ|
||=| |
|sinθcosθ||2sinθcosθcos<平方>θ－sin<平方>θ|
所以『將θ角連續旋轉2次』可以視為『旋轉2θ』因此上麵的式子就等於下麵的式子。
|cos2θ－sin2θ|
||
|sin2θcos2θ|
比較算式的內容，可以得到以下兩個等式。
cos2θ＝cos2θ－sin2θ
sin2θ＝2sinθcosθ
也就是說cos2θ與sin2θ可以用cosθ與sinθ表現，將2θ用θ表示的式子，就稱為兩倍角公式，將旋轉以算式呈現並重新解釋其中的內容，就可以導出兩倍角公式。
用等號表示『2θ旋轉一次』與『θ旋轉2次』兩者相同，發現兩種姿態其實是同樣的東西時，是一件多美好的事情啊。
◎◎◎
聽著米爾迦說話的同時，我的腦袋在思考著另外一件事情。聰明的女孩，美麗的女孩，當注意到兩者其實是同一個人時，是一件多美好的事情啊。(無名之聲：專心學你的數學吧，人渣。話說高中就懂等距變換，這人難道是搞數學奧賽的？)（joyj:我求真相，我求等距變換真相==）
然而我仍舊不發一語，默默地聽著米爾迦說話。
3.2振動與旋轉
先不管之前的算式……米爾迦邊說邊在我的筆記本中寫下了這樣的問題。
※※問題3－1
用n表示下列一般項a<n>。
n01234567……
a<n>10－1010－10……
「解得出來嗎？」
「很簡單啊，數列在1，0，一1之間來回，或是說成振動比較好？」我回答。
「喔，原來你是這樣看這個數列的。」
「不對嗎？」
「不，你的想法沒錯，那麽……請將這個『振動』用一般項表現出來。」
「一般項……也就是說用n表示a<n>就行了吧。嗯，將狀況分類的話就馬上有答案了。」
a<n>=1 (n=0,4,8…,4k,…)
a<n>=0(n=1,5,9…,4k+1,…)
a<n>=－1(n=2,6,10…,4k+2,…)
「嗯，是沒錯，不過這樣就不像振動了。」
米爾迦閉上雙眼，食指左右搖晃。
「那麽接下來思考這個問題，要怎麽化成一般項呢？」她張開眼睛問著。
※※問題3－2
用n表示下列一般項b<n>。
n01234567……
b<n>1i－1－i1i－1－i……
「i是指<根號－1>嗎？」我提出問題。
「除了虛數單位以外還有別的i嗎？」
「不……算了，先不管這個。這個數列b<n>在n為偶數時是＋1或－1，當n為奇數時為＋i或－i，這也是振動的一種嗎？」
「當然不是，你將這個數列當成是振動？」
「除此之外還有別的理解方式嗎？」我問。
米爾迦在閉上眼的一瞬間回答。
「用複數平麵思考看看吧。複數平麵就是軸是實數軸，y軸是虛數軸的坐標平麵，這樣的話，全部的複數都能在這平麵上以點來表現。」
複數數←→點
＋yi←→(，y)
將問題3－2的數列b<n>用複數的列思考的話，1就是1＋0i，i就是0＋1i。
1＋0i，0＋1i，－1＋0i，0－1i，1＋0i，0＋1i，－1＋0i，0－1i，……
將數列bn在複數平麵上以點來表示，就會出現這樣的圖。
(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，1)，……
[插圖：平麵直角坐標係，描出四點(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)]
「啊，原來如此。就會在菱形……應該說是正方形的頂點間移動啊。」我一邊說一邊在圓上畫線。
[插圖：平麵直角坐標係，描出四點(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，逆時針順次以直箭頭連接，即(1，0)→(0，1)，(0，1)→(－1，0)，(－1，0)→(0，－1)，(0，－1)→(1，0)。最終箭頭構成一個完整的菱形]
「喔，你將點連成這種圖形啊，確實這樣也可以。」
「除了正方形之外還有別的圖形嗎？」我問。
「你的腦袋出乎意料地硬呢，這種圖形呢？」米爾迦回答。
[插圖：平麵直角坐標係，描出四點(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，逆時針順次以彎箭頭連接，即(1，0)→(0，1)，(0，1)→(－1，0)，(－1，0)→(0，－1)，(0，－1)→(1，0)。最終箭頭構成一個完整的圓形]
「是圓……」
「沒錯，是圓，半徑為1的單位圓，在複數平麵上以原點為中心的單位圓，這是將複數的列表現成單位圓上的點。」
「單位圓……」
「通常單位圓上的點會以這樣的複數來表示。」
cosθ＋isinθ
「唔……對了，θ就是單位向量(1，0)的旋轉角啊。」
[插圖：平麵直角坐標係，描出(1，0)，在第一象限描出任意一點(cosθ,sinθ)。連接(cosθ,sinθ)與原點，這條線與軸正半軸所成的角為“幅角θ”]
「沒錯。我們稱θ為幅角，複數與點的對應關係就像……」
複數數←→點
cosθ＋isinθ←→(cosθ，sinθ)
「將問題3－2的數列視為將正方形……不……將圓周四等分的點。要如何表現這四個等分點呢？」米爾迦對我說。
「θ為90度……也就是說以每弧度π/2增加就行了，幅角為θ＝0，π/2，π，3π/2，……也就是說下麵四個複數為圓的四個等分點。」我回答。
cos0(π/2)＋isin0(π/2)
cos1(π/2)＋isin1(π/2)
cos2(π/2)＋isin2(π/2)
cos3(π/2)＋isin3(π/2)
「沒錯。如此一來，數列bn的一般項就可以表示成下麵的式子。」米爾迦說。
※※解答3－2
bn＝(π/2)＋isinn(π/2)(n＝0，1，2，3，……)
「然後再回到問題3－1的an。」
a<n>＝1，0，－1，0，1，0，－1，0，……
「你說an的1，0，－1是振動吧，其實那個問題也可以用一樣的思考方式解決。」
※※解3－1
a<n>＝(π/2)(n＝0，1，2，3，……)
「咦……為什麽？」
「可以用圖形來思考，試著將剛才bn那四個等分點投影到實數軸，就可以看到振動的樣子，所以說『振動是旋轉的影子』。」
[插圖：平麵直角坐標係，描出四點(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，逆時針順次以彎箭頭連接，即(1，0)→(0，1)，(0，1)→(－1，0)，(－1，0)→(0，－1)，(0，－1)→(1，0)。最終箭頭構成一個完整的圓形。之後，在此圖下畫實數軸，在(1，0)、(－1，0)、(0，－1)處作三條豎直線段投影到實數軸上]
「數列a<n>可以有很多種不同的看法，可以當成『單純的整數排列』，或是『在實數的在線振動的點』，以及『在複數平麵上旋轉的點』，當你意識到看見的是投影在一次元在線的影子時，你就能想象出在二次元的圓。當意識到所見的是投影時，就能發現更高次元的結構。但是通常並不容易被發覺。」
「……」
「從整數到實數的數線，再從數線到複數平麵，不斷地思考更高的次元。於是表現就變得簡單明了，可以說越簡單明了，就越象征『理解』吧。給予一部分的數列，然後思考下一個數，這並不單隻是謎題，而是要探究隱藏在一般項之後的結構。」
我說不出話。
「必要的是眼睛，然而不是這個眼睛……」
米爾迦邊說邊指了指自己的眼睛。
「要看穿結構，需要的是心眼。」
3.3w的華爾茲
「那麽，下個問題。」米爾迦說。
※※問題3－3
用n表示下例一般項>
n
不可以隻是記憶。
不可以無法回憶。
——小林秀雄
我無法忘記。
我無法忘記在高中時代一起研究數學的女孩們。
用優雅的解法震撼人心的才女，米爾迦。
認真提出疑問的活潑少女，蒂蒂。
每當想起那段時光，心中就會浮現出數學公式，並跟著展開活絡的思維。數學公式超越時間，向我展現歐幾裏得、高斯、以及尤拉等數學家的靈光一閃。
——數學是超越時間的。
藉由閱讀數學公式，我品嚐著從前數學家體會過的感動。即使這已在數百年前就被證明完畢也無所謂，現在的我確實地擁有完成這些邏輯的快感。
——用數學超越時間。
就有如深入叢林找出隱藏的寶藏。數學是個令人興奮的遊戲，以最佳的解法為目標，這是智力的競賽。數學，是令人心悸的戰鬥。
那時候，我開始使用名為數學的武器——但是這武器卻巨大到難以控製，就像無法控製自己的年少輕狂，就像無法控製對她們的深深思念。
不可以隻是記憶。
不可以無法回憶。
一切的開端，是在高一的那年春天……
第1章數列與規律
一、二、三。三即是一。
一、二、三。三即是二。
——大島弓子『綿の國星』
1.1在櫻花樹下
——高一那年春天。
開學典禮那天陽光普照。
「美麗的櫻花盛開……每個人都跑出了嶄新的一步……在這傳統的校舍裏……努力地讀書跑跳……少年易老學難成……」
校長的演講不斷誘導我進入夢鄉，我推了推眼鏡，忍住哈欠。
開學典禮結束後，回到教室的途中，我悄悄地離開校舍，一腳踏進了並排的櫻花樹道，漫步在周圍沒有任何人的路上。
我現在15歲。15，16，17……畢業的時候就18歲了，會經過一個4的倍數，還有一個質數。
15＝3x5
16＝2x2x2x2＝244的倍數
17＝17質數
18＝2x3x3＝2x32
現在教室裏的其它同學應該正在做自我介紹吧。我最不擅長自我介紹了，到底要說出什麽樣的自己呢？
「我喜歡數學。興趣是推演算式，請各位多多指教。」
這樣的說詞會讓大家目瞪口呆吧。
算了，頂多和國中時一樣靜靜地聽課，然後獨自在圖書室裏度過推演算式的三年吧。
這時，一棵格外巨大的櫻花樹出現在我的眼前。
一位少女正站在樹旁仰望著這棵櫻花樹。
她大概是新生。也跟我一樣是偷跑出來的嗎？
於是我也抬頭看著櫻花樹，昏暗的天色映入眼簾。
一陣風吹來，飛舞的櫻花將少女圍繞住。
少女看向我。
她有一副高挑的身材以及烏黑的長發。
緊閉嘴唇的臉上戴著金屬框的眼鏡。
她用清楚的發音念出：
「一、一、二、三。」
※※1123
念了四個數字之後，少女闔上嘴並指向我，似乎是在對我說：『你，就是你。請回答下一個數字是什麽？』
我的手也指向自己。
(要我回答？)
少女無言地點點頭，食指依然指著我。
這是怎麽回事？為什麽走在櫻花樹道的我必須要玩這種猜數字的遊戲呢？唔……答案是……
『1，1，2，3，……』
嗯，原來如此，我懂了。
「1，1，2，3之後是5，接著是8，再來是13，然後是21，接下來的數字是……」
少女將手心朝向我，這是停止的手勢。
這次是另一個問題，一樣是四個數字。
※※1427256
少女又伸手指向我。
這是測驗嗎？
『1，4，27，256，……』
我瞬間就找到了規則。
「1，4，27，256再來是3125吧。再來……我沒辦法用心算。」
少女皺了皺眉。她對回答『沒辦法用心算』的我搖搖頭，然後將答案告訴我。
「1，4，27，256，3125，46656，……」她的聲音十分清晰。
少女閉上了眼，接著像要仰望櫻花樹般抬起頭，她的食指不斷地在空中比劃。
少女的嘴裏仍然不停地念著數字。雖然她隻是輕聲吟詠、做著微小的動作，但是我的目光卻已經離不開這個奇異的女孩。她到底想做什麽？
然後她看向這裏。
※※6153577
又是四個數字。
『6，15，35，77，……』
這問題還頗難的，我努力讓頭腦運轉。6與15是3的倍數，但是35卻不是，而35與77是7的倍數……要是能寫在紙上的話，或許就能迅速解開了。
我稍微瞄了一下。櫻花樹下的少女仍然站在樹旁，並用相當認真的表情看著我，就連頭發沾上櫻花也不以為意。看到她這種認真的態度，這果然是測驗嗎？
「我知道了。」
我才剛說完，少女的眼睛就為之一亮，還露出些微的笑容。這是我第一次看見她的微笑。
「6，15，35，77之後是133。」我不自覺地提高音量。
但是少女卻搖搖頭，露出一副「真拿你沒辦法」的表情。風使她的長發飛舞，也令櫻花飄落。
「計算錯誤。」女孩的手指碰了碰眼鏡。
計算錯誤……唔……的確如此，11x13＝143才對，並不是133。
少女繼續發問：
※※62821018
這次是六個數，我稍微想了一下，最後的18真讓人頭痛，要是2的話就好了，這題看起來很像無意義的數字組合……不對……全都是偶數嗎？……我懂了！（joyj：讀者不必糾結，這個數列絕對是沒有任何一個人類能懂的……劇情需要，劇情需要）
「再過來是4，12，10，6，……還真是個過分的難題。」我說。
「是嗎？不過你不是也解出來了？」
她露出滿足表情的同時走到我的麵前伸出一隻手。她的手指相當細長。
(要握手嗎？)
我在搞不清楚的狀況下和她握了手，她有雙柔順而且溫暖的手。
「我是米爾迦，請多指教指數。」
這就是我與米爾迦的邂逅。
1.2自家
夜晚。
我喜歡夜晚。家人沉睡後就是我的自由時間。沒有任何人會打擾的世界，在那裏隻有我一人，攤開書本、探索世界、進入數學的叢林裏，發現稀有的動物、清澈的湖水、雄壯的巨木，並與無法想象的美麗花朵邂逅……
米爾迦。
明明隻是第一次見麵，卻談了奇怪話題的怪人。我想她一定很喜歡數學吧，在完全沒有任何說明的情況下，就突然進行起如同測驗般的數學問答。我合格了嗎？我回想起跟她的握手，那是非常柔軟的手；還回想起些微的香味，那是淡淡的女孩香。
女孩。
我將眼鏡放在書桌上，接著閉上眼回想與米爾迦的對話。
一開始的問題是1，1，2，3，5，8，11，……這是斐波那契數列。在1、1之後，將前麵兩數
相加形成下一個數。
1，1，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，……
下一個問題是1，4，27，256，3125，46656，……解法則是……
1<1次方>，2<平方>，3<立方>，4<4次方>，5<5次方>，6<6次方>，……
也就是說一般項為n<n次方>，4<4次方>或5<5次方>還好，不過6<6次方>的話我就無法心算了。
再來6，15，35，77，143，……則是這種規則……
2x3，3x5，5x7，7x11，11x13，……
也就是『質數x下一個質數』。11x13的計算錯誤是我的敗筆，被米爾迦明確地說出『計算錯誤』還真是不堪。
最後的問題，6，2，8，2，10，18，4，12，10，6……相當的難，因為這是十進製圓周率π的各分位數乘上2之後組成的數列。
π＝3.141592653……圓周率
→3，1，4，1，5，9，2，6，5，3，……各分位
→6，2，8，2，10，18，4，12，10，6，……各分位乘上2
這個問題必須熟記圓周率3.141592653……否則就無法解答，不靠記憶根本無法解答。（joyj：有記憶又有什麽用……咱怎麽也是個能背過圓周率前一百位的人，可是想了那麽半天不還是無解麽……）
記憶。
我喜歡數學，是因為比起記憶東西，我更喜歡思考。數學並不是要喚起陳舊的記憶，而是要拓展新的發現。記憶性的東西就隻能死記，像是人名、地名、單字、元素表，沒有第二種方法。但是數學不同，給予問題的條件，就像將材料和道具準備好放在桌上，勝負的關鍵不是記憶，而是思考。
……我是這麽想的。
但是，或許沒有那麽單純。
同時我也注意到為什麽米爾迦在出「6，2，8，2」的問題時，沒有隻說6，2，8，2，而是說到6，2，8，2，10，18的原因了。若是隻說6，2，8，2的話，解答就不一定隻有π各分位數乘上2這種可能性，還有其它更簡單的解答，例如6，2，8，2，10，……自然也有可能像下麵的數列一樣，也就是每個偶數項中插入n的數列。
6，2，8，2，10，2，12，2，……
米爾迦是在考慮到這個問題之後才這樣出題的。
『不過你不是也解出來了？』
她預測出我有辦法解答，還露出滿足的表情。
米爾迦。
在春天的陽光下與櫻花飛舞的風中，不遜於這幅風景的她就站在那裏，搖曳的黑發、有如指揮家般細長的手指，以及那雙溫暖的手與淡淡的香味。
不知為何，我的腦海裏已經揮不去她的身影。
1.3數列謎題沒有正確解答
「米爾迦，為什麽那時候你要出數列謎題呢？」我問道。
「那時候？」她停止計算並抬起頭。
這裏是圖書室，打開的窗戶吹進清爽的風，而窗外是一片梧桐樹綠，遠方還傳來棒球社練習的聲音……
現在是五月。
對新學校、新教室、新同學的新鮮感逐漸淡化，我回到了平淡無奇的日常作息。
我沒有參加任何社團，也就是所謂的回家社。話雖如此，放學後的我並不會立刻回家。在最後的班會結束後，為了能獨自推演算式，我通常會前往圖書室。
就和國中時一樣，我沒有參加社團，而是放學後在圖書室(國中稱為圖書間)看書，或是看看窗外的綠色，抑或是預習與複習功課。
其中最喜歡的還是推演算式。將課堂上出現過的公式在筆記本上重新組合、將原本的定義還原、重新導出公式、將定義變形、設想實例、品嚐變換定理的樂趣、思考證明方式……我喜歡將這些東西記在筆記本上頭。
不擅長運動、也沒有可以一起玩的朋友的我，最大的樂趣就是一個人而對筆記本的時候。雖然寫出算式的是我，但是並不是隨便怎麽寫都可以，而是有一定的規則。有規則就算一種遊戲，沒有比這更嚴密、更自由的遊戲了，這是曆史上的數學家們挑戰過的遊戲，隻有一支自動鉛筆、一本筆記本和我的腦袋就能進行的遊戲，我樂此不疲。
所以即使成為高中生，我也同樣地享受一個人在圖書室的樂趣。
但是，事實與原本的期望有些不同。
那就是到圖書室的學生不隻有我一個。
米爾迦。
她與我同班，而且她每三天會在放學後到圖書室一次。
每當我一個人計算的時候，她會將自動鉛筆從我的手中抽出，然後擅自在筆記本上寫字，先說明一下，這本筆記本是我的，該說她旁若無人還是自由自在呢？
不過我也不討厭她這樣做，她表現出的數學雖然困難，但是有趣、刺激，而且……
「你說那時候，是指什麽時候？」米爾迦咬著(我的)自動鉛筆回問著。
「就是第一次見麵的時候，在櫻花樹下……」
「啊，那個啊。沒什麽理由，隻是剛好想到罷了。怎麽突然問我這個？」
「沒什麽，突然想到而已。」
「喜歡那種謎題嗎？」
「應該不算討厭。」
「喔，那你知道『數列謎題沒有正確解答』這句話嗎？」
「什麽意思？」
「譬如1，2，3，4，你認為接下來是什麽？」米爾迦說道。
「當然是5吧。1，2，3，4，5……這樣下去。」
「然而，這並不是一定的。例如1，2，3，4，然後在這裏突然增到10，20，30，40，再增加到100，200，300，400……這樣也算是一種數列。」
「那樣太卑鄙了。開始隻說四個數，然後之後才出現『在這裏突然增加』之類的。誰能預測到1，2，3，4之後會是10啊？」
「是嗎？那要給你幾個數才可以呢？假如數列一直無限延伸的話，要提示到第幾個才夠呢？」
「……你所謂的『數列謎題沒有正確解答』就是這個意思嗎？提示的數之後有可能突然改變規律。不過，在1，2，3，4後麵突然接10的話，以問題來說未免太沒意義了。」
「世界上的事不就是這麽一回事嗎？不曉得之後會發生什麽事、與原先預測的不同……那麽，你能解出這個數列的一般項嗎？」
米爾迦一邊說，一邊將數列寫在筆記本上。
※※1，2，3，4，6，9，8，12，18，27，……
「嗯～～好像知道又好像不知道。」
「1，2，3，4之後應該是5吧。可是不是5而是6，在少數樣本中規則沒有出現，也就是說看不到規律。」
「嗯。」
「1，2，3，4，6，9，再來應該會更大吧，不過正好相反。9的下一個是比較小的8，原本覺得會越來越大的數列現在卻反過來了，你能看出它的規律嗎？」
「嗯～～除了一開始的1以外，出現的都是2和3的倍數，不過變小的部分就不太了解。」
「像這樣的話就可以說明了。」
2<0次方>3<0次方>，2<1次方>3<0次方>，2<0次方>3<1次方>，2<平方>3<0次方>，2<1次方>3<1次方>，2<0次方>3<平方>，2<立方>3<0次方>，2<平方>3<1次方>，2<1次方>3<平方>，2<
0次方>3<立方>，……
「像這樣以2和3的指數來思考的話，就可以看出結構了。」
「咦？我還是不太清楚。0次方是1，所以……
2<0次方>3<0次方>＝1，2<1次方>3<0次方>＝2，2<0次方>3<1次方>＝3，……
確實就像一個數列，不過……」
「嗯～～寫出指數了還是不懂嗎？那像這樣呢？」
2<0次方>3<0次方>——指數的和是0
2<1次方>3<0次方>，2<0次方>3<1次方>——指數的和是1
2<平方>3<0次方>，2<1次方>3<1次方>，2<0次方>3<平方>——指數的和是2
2<立方>3<0次方>，2<平方>3<1次方>，2<1次方>3<平方>，2<0次方>3<立方>——指數的和是3
（joyj：所以又是一道純粹惡心人的題目……）
「原來如此。」
「說到2與3的倍數……」米爾迦說到一半。
這時候圖書室的門口突然傳來呼喚她的聲音。
「米爾迦……差不多該走了吧！」
「啊，今天是練習的日子嗎？」
米爾迦把筆還給我並朝入口的女孩走去。在要走出圖書室之前，她轉頭向我說：
「找機會再跟你討論『假如世界上隻有兩個質數』的有趣話題吧。」
她留下我一個人離開了圖書室。
假加世界上隻有兩個質數？
這又是怎麽回事？
第2章名為算式的情書
我的心裏隻有你
一秩尾望都『ラーギニー』
2.1校門口
升上高二，不過隻是學年標誌從i變成ii，今天仍舊和昨天一樣沒有變化……在早上之前我是這麽認為的。
「請、請收下這個。」
在陰天的四月底，升高二後經過一個月的早上，我在校門口被一個女孩叫住。
她向我伸出的兩手中有一封白色的信，我糊裏糊塗地收下信，這個女孩向我行個禮後，就往校舍的方向跑走。
她的身高比我矮很多，也沒有看過的印象，大概是剛入學的新生。我急忙將信收入門袋並向教室走去。
上次收到女生的信是在小學的時候，那時我感冒請假休息，身為班長的女孩將作業以及「大家都在等你，要快點好起來回學校上課喔！」的信送到家裏……隻是單純的聯絡事項。
之前米爾迦說過『不曉得之後會發生什麽事』，的確沒錯，今天未必和昨天一模一樣。
口袋裏的信不斷在課堂中動搖著我的心。
2.2心算問題
「這是心算問題。1024的因子有幾個？」
現在是午休時間，正想把女孩的信拿出來的時候，米爾迦邊咬著巧克力棒邊走到我的身旁問問題。由於沒有換班，所以我和米爾迦二年級仍然同班。
「用心算？」我把信放回口袋。
「我數到10之前回答。0，1，2，3……」
等一下，1024的因子……能整除1024的數，1可以，2可以，3不行，1024不能被3整除，4的話可以。啊，對了！1024是2的10次方……我急急忙忙地計算。
「……9，10，時間到。幾個？」
「11個，1024的因子有11個。」
「正確答案，怎麽算的？」米爾迦一邊舔著拿巧克力的手指一邊等我回答。
「1024用質因子分解的話就是2的10次方，所以1024就會像這樣分解。」我說。
1024＝2<10次方>＝2x2x2x2x2x2x2x2x2x2——2有10個
我接著說：「1024的因子一定能整除1024，所以因子一定是2nxn從1到10，所以1024的因數為以下11個。」
2<0次方>，2<1次方>，2<平方>，2<立方>，2<4次方>，2<5次方>，2<6次方>，2<7次方>，2<8次方>，2<9次方>，2<10次方>
對於我的回答，米爾迦點了點頭。「答對了，那麽下一個問題。將1024的因數全部加起來的和是……」
「米爾迦，抱歉。中午我有點事，晚點再聊……」我說完之後站了起來。
我不顧被打斷話題、明顯露出不愉快表情的米爾迦，快速地走出教室。
打斷她出題真的很抱歉，1024的因子的和啊……我邊走向屋頂邊思考答案。
2.3信
即使是午休，屋頂上還是沒什麽人，是因為天氣不太好的關係吧。
信封裏裝著白色的信紙，上麵是用鋼筆橫寫的娟秀字體。
我是今年入學的蒂德菈，是跟學長就讀同所國中、小你一屆的學妹。因為想跟學長討論關於數學的事，所以寫了這封信。
雖然我對數學有興趣，不過國中的上課內容就讓我很吃力。聽說進高中之後數學會更深，很希望能解決這個問題。
非常抱歉在您忙碌的時候打擾了，希望能有機會與您商談。今天放學後我會在大型教室裏等您。
蒂德菈
我將這封信讀了四次。
原來她叫做蒂德菈啊，摩諾=迪=德莉=蒂德菈，跟我同所國中、小我一屆的學妹。不過我完全沒印象，不擅長數學的學生確實很多，尤其是新生。
……先不管這些，這封信還是像聯絡事情用的嘛……雖然有點失望，不過算了，這樣也好。（joyj：==你在期待什麽……）
放學後在大型教室見麵啊。
2.4放學後
「……算出來了嗎？」
結束了一天的課程，在我前往大型教室的途中，米爾迦突然問。
「2047。」我立刻回答，1024所以因數的和就是2047。
「是因為思考時間充裕吧。」
「大概……那明天見。」
「你要去圖書室嗎？」米爾迦的眼鏡閃了一下。
「不，今天大概不會去了，突然有點事。」
「喔……這樣的話，就出個回家作業吧。」
※※米爾迦出的回家作業
請說明一正整數n，求其「因數和」的方法為何？
「這是要使用n來表達因數和的算式嗎？」我問。
「不，隻要寫出求的過程就好了。」
2.5大型教室
「對不起。找你出來……這個……」
剛進大型教室，就看到蒂蒂一個人緊張地等著，胸前還抱著筆記本和鉛筆盒。
「我、我想和學長談一談，可是又不知道該怎麽辦。我朋友說在這裏的話會比較方便，所以……」
這個大型教室必須從主校區繞過小小的中庭才能到達，主要在物理和化學課時使用。教室由階梯構成，最下階是講台，這是為了讓學生方便看清楚教室實驗操作的配置。
我和蒂蒂坐在最後一排的長椅上，我從口袋中拿出今天早上的信。
「我已經看了這封信了。但是不好意思，我不太記得你。」
她的右手立刻在臉前左右搖晃。
「沒關係，我也覺得你不會記得我的。」
「而且，為什麽你會認識我啊？我在國中時應該不怎麽顯眼才對。」沒參加社團、放學後隻到圖書間的人應該不會引人注目。
「啊，這個……學長你很有名喔。我……那個……」
「算了……你說想談談有關
數學不拿手的事情，可以說明得再詳細一點嗎？」
「啊，好的，謝謝您……我從小學開始就覺得數學的問題很有趣。但是進國中後，不管是上課還是看課本，都常常覺得『無法完全理解』。到高中之後，老師又說數學很重要，要好好學習，所以才想要解決『無法完全理解』這個問題。」
「原來如此。所以就是因為有『無法完全理解』的問題，你的成績也不是很好囉？」
「不，這個的話……」
蒂蒂邊將食指指甲放在嘴唇上邊思考，擁有一頭短發、靈活滾動雙眼的蒂德菈給人的感覺像是活潑的小動物鬆鼠或是小貓之類的。
「像段考之類有一定範圍的考試，就不會有太大的問題。但是像模擬考，有時候就會考得很差，中間會有蠻大的落差。」
「上課呢？上課的時候聽得懂嗎？」
「上課啊……老師教的時候好像都聽懂了。」
但是卻無法完全理解？
「是啊，無法完全理解。多多少少能解題，上課也好像聽得懂。可是實際上卻沒有完全理解。」
2.5.1質數的定義
「那麽我再問得更具體一點，你知道質數嗎？」
「……嗯，應該知道。」
「應該知道啊……那你說說看質數的定義，就是回答『什麽是質數』。不需要用算式，用自己的說法表達就可以了。」
「什麽是質數？嗯～～像5或7之類的嗎？」
「嗯，5和7都是質數沒錯——但是5和7都隻是質數的一個例子。「舉例」和「定義」並不一樣。什麽是質數？」
「啊，好的。質數就是……『隻有1和自己本身能整除自己的數』吧，這是數學老師叫我們一定要記起來的定義。」蒂蒂點點頭說。
「也就是說，你認為這個定義是正確的？」
『當正整數p隻能被1與p整除時，p為質數』(？)
「嗯，我覺得這是正確的。」
「不，這定義是錯的。」
「咦？假如拿5當例子的話，隻有1和5可以整除啊。」
「嗯，5是質數沒錯。但是照這個定義的話，1也會變成質數了。因為當p用1代入時，p隻能被1與p整除這點是符合的，但是1並不包含在質數之內。最小的質數是2，將質數由小到大排列，會像下麵的數列一樣從2開始。」
2，3，5，7，11，13，17，19，……
我繼續說下去：「所以前麵的定義是錯的，質數的定義應該如下麵所寫……」
『當正整數p隻能被1與p整除時，p為質數，但1除外。」
「或是從一開始就定下條件。」
『p為大於1的整數，當正整數p隻能被1與p整除時，p為質數。』
「條件用算式也可以。」
『整數p＞1，當p隻能被1與p整除時，p為質數。』
「1不是質數啊。的確，老師好像也是這樣教的，我能懂學長寫的定義了。但是……」
蒂蒂突然拾起頭。
「我知道了，質數不包含1。不過我還是不能認同，為什麽質數不能包含1呢？包含進去會有什麽不合理的地方嗎？我不懂質數不能包含1的rationale。」
「rationale？」
「就是正當的理由、原理的說明、理論的根據。」
喔～～這女孩也知道認同理由的重要性啊。
「……學長？」
「啊……抱歉。為什麽質數不能包含1呢？很簡單，是因為質因子分解的唯一性。」
「質因數分解的唯一性？唯一性是什麽？」
「所謂質因數分解的唯一性就是指一正整數n的質因子分解隻有一種。例如說24的質因子分解隻有2x2x2x3一種。啊，在這裏不考慮數字的排列順序，像2x2x3x2或3x2x2x2之類，雖然順序不同仍然視為同樣的質因子分解。質因子分解的唯一性在數學裏是相當重要的，為了要遵守這個性質，所以就定義1不能為質數。」
為了要遵守這個性質？因為這個原因就可以擅自定義嗎？」
「可以的。雖然說擅自有點誇張……數學家會找出對構成數學世界有用的數學概念，然後將它命名，這就是定義。將概念清楚地規定下來，就能勉強算是定義了。但是，可以定義和這個定義能不能派上用場又是兩回事。在你的定義裏，質數包含1，會使質因子分解的唯一性消失。話說回來，你懂質因子分解的唯一性了嗎？」
「唔，懂了……吧。」
「嗯～～為什麽說『吧』？必須確定自己是否理解才行。」我特別強調了『自己』。
「要怎麽確定自己是否理解了呢？」
「例如舉個適當的例子來確定是否理解了。『舉例是理解的試金石』。雖然舉例並非定義，但是適當地舉例也是一種很好的練習。」
『舉例若質數包含1，則質因子分解的唯一性無法成立』
「原來是這樣。假如質數包含1，則24的質因子分解，就會像這樣有很多種……」
2x2x2x3
1x2x2x2x3
1x1x2x2x2x3
.
.
.
「是的。這就是質因子分解的唯一性無法成立的例子。」
我的話讓蒂蒂鬆了一口氣，
「但是與其說『很多種』，不如用『複數個』或『2個以上』的方式表現。這是因為……」
「……因為比較嚴密？」蒂蒂馬上接下去。
「沒錯，『很多種』這種表達方式並不嚴密。幾個以上算是很多？這樣界線就很模糊。」
「學長……我似乎也要先整理一下我的腦袋才行了。關於『定義』、『舉例』、『質數』、『質因子分解』、『唯一性』……還有嚴密的表達，在數學裏用詞也是很重要呢！」
「沒錯！你很聰明。在數學裏語言是很重要的。要盡可能避免誤會，所以數學才會使用嚴密的用語，而其中最嚴密的語言就是算式。」
「算式……」
「那麽進入數學的語言——算式的話題吧。因為要用到黑板，我們到下麵去。」
我走向大型教室的前方，蒂蒂則跟在後麵，才剛走幾步就聽到一聲」啊！」接著我的背後感受到一陣衝擊。
「哇！」
「對……對不起。」
蒂蒂被樓梯絆倒，撞向我的背後，在兩個人快要跌倒的時候，我總算站穩腳步，真危險。
2.5.2絕對值的定義
「……那麽接下來，你知道絕對值嗎？」我們麵向黑板並排站著。
「嗯，應該知道。5的絕對值是5，－5的絕對值也是5，去掉負號就好了吧。」
「嗯～～那麽我寫出的絕對值定義，你覺得這樣可以接受嗎？」我在黑板上列式。
※※的絕對值||的定義
||＝(≥0的情況)
||＝－(＜0的情況)
「啊……這樣表示的話，我就想到問題了。既然是的絕對值，把負號拿掉還出現不是很奇怪嗎？」
「『把負號拿掉』以數學來講是很曖昧的說法。雖然能夠理解意思，也大致上符合定義。」
「那麽『把負的變成正的』呢？」
「一樣很曖昧。那麽－的絕對值是什麽？」我在黑板上寫下式子。
|－|
「因為要把負號去掉，答案是吧。所以說就是|－|＝。」
「不對，假如＝－3的
話呢？」
「咦？＝－3的話……」蒂蒂也在黑板上演算。
|－|＝|－(－3)|因為＝－3
＝|3|所以－(－3)＝3
＝3最後|3|＝3
「假如像你說的|－|＝的話，＝－3時，就會變成|－|＝－3.可是實際上是|－|＝3，所以才會變成|－|＝－。」
聽著我的說明、看著黑板上的式子，蒂蒂細細思索。
「啊！原來如此，也有可能是負的，這種狀況的話，負負就會得正，我看到就不自覺地想到3或5之類的正數了。」
「是啊，因為前而並沒有任何符號表示，所以通常不會想到會等於－3之類的負數，但是這卻很重要。特別使用就是表示即使不用很多實例來說明，也可以具體地定義絕對值。『絕對值就是把負號拿掉』這種說法太過籠統，必須更進一步地確認才行，或許你可能會覺得在挑毛病，不過嚴密的思考是必要的，習慣這種嚴密的思考就能習慣算式，甚至是數學也說不定。」
蒂蒂在最前排找了個座位坐下，她一邊用手指撥弄筆記本邊緣，一邊沉思。
而我則在等待她的發言。
「我的國中生活好像都浪費了。」
「怎麽說？」
「我本來覺得我還算用功的。但是我不曾嚴密地讀過課本裏麵的定義和算式。我的數學一定是念得很鬆散吧。」
她深深地歎了一口氣，表現出一副很失望的樣子。
「……我說你啊。」
「咦？」蒂蒂看向我。
「假如你真的這麽想的話，從現在開始不就好了。過去的已經過去了，你是活在現在啊，把現在發現的事情在未來改變就可以了。」
蒂蒂突然睜開眼睛，然後站了起來。
「是……是啊，後悔過去的事也沒用。邁向未來就好了……謝謝你，學長。」
「嗯，今天就先到這裏為止吧，天色也漸漸暗了，接下來的下次再講解。」
「接下來的？」
「嗯，我放學後大部分都會待在圖書室，假如你有什麽想問的，到那裏找我就可以了，蒂蒂。」
她的眼中一瞬間浮現光輝，很高興地露出微笑。
「好的！」
2.6回家的路上
「唉呀，下雨了。」
剛走出校舍門口的蒂蒂望向天空，烏雲密布的天空開始下雨。
「你沒帶傘嗎？」
「雖然有看天氣預報，不過早上出門太趕，所以就忘記了。不過沒關係，隻是小雨，用跑的就好了。」
「這樣到車站前就會淋濕了。反正順路，而且我的傘也夠大，一起走吧。」
「不好意思……謝謝學長。」
這似乎是我第一次跟女孩子共撐一把傘，我們漫步在柔和的春雨之中，雖然我有點不習慣，不過還是配合著她的步調漸漸地沉穩下來，或許是這陣雨吸收了城市的喧囂，街道一片靜寂。
今天跟她聊了一段時間，感覺很愉快，我也沒想到竟然會有個崇拜自己的可愛學妹，和蒂蒂聊天很輕鬆，從她的表情就可以知道她有沒有聽懂。
「為什麽學長會知道呢？」
「知道什麽！？」
「就是……就是今天談的那些數學，有關我不懂的部分，為什麽學長會知道我哪裏不懂呢？」
啊～～嚇到我了，我還以為蒂蒂會心電感應。
「因為今天談到的論題，也就是質數和絕對值的部分，我也曾經抱持疑問。讀數學的時候，為不懂的地方感到困擾、在想了好久、讀了很多書之後，才發現『啊，原來如此！』這是相當不錯的體驗，在累積這些體驗後，會漸漸對數學產生興趣，進而變得拿手。啊，在前麵轉彎吧。」
「轉彎。是『thebendintheroad』吧……從這條路也能到車站嗎？」
「嗯，從這裏轉彎、穿過住宅區會比較快到車站。」
「會比較快到嗎？」
「是啊，早上從這裏走也會比較快喔。」
咦？蒂蒂的速度突然慢了下來，是我走太快了嗎？果然要配合步調不太容易。
到了車站。
「因為我等一下還要到書店去，就在這裏說再見了。對了，傘先借你吧。」
「啊，就到這裏嗎？呃……這個……」
「嗯？」
「沒……沒什麽事情。那傘我就收下了，明天我會還你的，今天真謝謝你。」
蒂蒂將兩手放在前麵深深地鞠躬。
2.7自家
夜晚。
我在房間裏回想今天與蒂蒂的互動，她既純真又有衝勁，之後應該會繼續成長吧，要是能讓她知道數學的樂趣就好了。
和蒂蒂說話的時候，我擺出的是教導者的姿態，這與米爾迦說話的時候有很大的不同。米爾迦始終都一直保持主動，或許該說是我一直被教導吧。
拿出米爾迦出的回家作業。竟然被同班同學出回家作業啊……
※※米爾迦的回家作業
請說明一正整數n，求其『因子和』的方法為何？
這個問題隻要把n的全部因子找出來就好了。找出來之後再把它們加起來，就成『因子和』了。但是這種回答未免太過無趣，必須尋找更進一步的答案才行……嗯，先將整數n質因子分解。
用午休時1024＝2<10次方>的問題將題目稍微廣義化，例如先將n以質數的乘冪表現。
n＝p<m次方>p為質數，m為正整數
當n＝1024時，上式變成p＝2，m＝10，用同樣的方法思考1024的所有因子如下。
1，p，p<平方>，p<立方>，……，p<m次方>
所以在n＝p<m次方>的狀況下，n的『因子和』求法如下。
(n的因子和)＝1＋p＋p<平方>，p<立方>＋……＋p<m次方>
以上，就能回答整數n＝p<m次方>的因子和了。
之後再廣義化……就是這樣，並沒有那麽難，隻要用和質因子分解一樣的寫法。
正整數n通常能如下質因子分解，設p，q，r，……為質數，a，b，c，……為正整數。
n＝p<a次方>xq<b次方>xr<c次方>……x等一下！
等一下，使用英文字母的話無法做廣義性的表現，假如指數部分用a，b，c，……表示的話，很快就會到達p，q，r……了。這樣會使算式變得混亂。
要以2<立方>x3<1次方>x7<4次方>……x13<立方>這樣的形式，也就是質數<正整數次方>的乘積書寫。
……既然如此，那就這麽做，質數以p<0>，p<1>，p<2>，……表示，而指數以a<0>，a<1>，a<2>，……a<m>表示。像這樣以標記0，1，2，3，……，m書寫，雖然算式會變得很複雜，但是可以做廣義性的表現，在這裏m＋1代表『將n質因子分解時質因數的個數』，可以改成這種寫法……
正整數n可以如下質因子分解，其中p<0>，p<1>，p<2>，……，p<m>為質數，a<0>，a<1>，a<2>，……，a<m>為正整數。
n＝p<0><a<0>次方>xp<1><a<1>次方>xp<2><a<2>次方>x……xp<m><a<m>次方>
其中n為上述結構時，n的因子則以下列表示。
p<0><b<0>次方>xp<1><b<1>次方>xp<2><b<2>次方>x……x
p<m><b<m>次方>
其中b<0>，b<1>，b<2>，……，b<m>為整數，且符合以下條件。
b<0>＝0，1，2，3，……，a<0>的其中任一數
b<1>＝0，1，2，3，……，a<1>的其中任一數
b<2>＝0，1，2，3，……，a<2>的其中任一數
b<m>＝0，1，2，3，……，a<m>的其中任一數
……嗯，雖然寫得很完整，但是相當囉唆，簡單來說就是質因子的指數隨著0，1，2，……一直變化就是因子了，通常要廣義化都需要很多的文字敘述。
而廣義化到這裏，接下來就簡單了，隻要把因子全部加在一起就是因數和。
(n的因數和)＝1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0><a<0>次方>
＋1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0><a<1>次方>
＋1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2><a<2>次方>
＋……
＋1＋p<m>＋p<m><平方>＋p<m><立方>＋……＋p<m><a<m>次方>(？)
……不對不對，這並不是『全部因子的和』，而是因子中按照質因子乘冪排列的數字和。實際的因子應該是像……
p<0><b<0>次方>xp<1><b<1>次方>xp<2><b<2>次方>x……xp<m><b<m>次方>
……將質因子的乘冪全部組合之後，挑選出來合並在一起，這才是正確的和。用語言說明很難理解，就用算式表達吧。
(n的因子和)＝(1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0><a<0>次方>)
(x1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0><a<1>次方>)
(x1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2><a<2>次方>
(x……
(x1＋p<m>＋p<m><平方>＋p<m><立方>＋……＋p<m><a<m>次方>
※※米爾迦的回家作業的解答
將正整數n如下做質因子分解。
n＝p<0><a<0>次方>xp<1><a<1>次方>xp<2><a<2>次方>x……xp<m><a<m>次方>
而其中p<0>，p<1>，p<2>，……，p<m>為質數，a<0>，a<1>，a<2>，……，a<m>為正整數，此時則由以下算式得n的因子和。
(n的因子和)＝(1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0><a<0>次方>)
(x1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0><a<1>次方>)
(x1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2><a<2>次方>
(x……
(x1＋p<m>＋p<m><平方>＋p<m><立方>＋……＋p<m><a<m>次方>
還能不能再寫得更簡潔一點呢？……嗯……不過這是答案沒錯。
2.8米爾迦的解答
「正確解答，雖然看起來很複雜。」
隔天米爾迦看到我的答案時很幹脆地下結論。
「有辦法寫得更簡潔嗎？」
「可以。」米爾迦立刻回答，「首先，在和的部分可以用下麵的式子代替，限定1－≠0的狀況下……」米爾迦一邊回答，一邊在我的筆記本上寫下……
1＋＋<平方>＋<立方>＋……＋<n次方>＝(1－<n+1次方>)/1－
「原來如此。」我說。這是等比數列的求和公式。」
「馬上就可以證明。」米爾迦繼續說。
1－<n+1次方>＝1－<n+1次方>兩邊是同一個算式
(1－)(1＋＋<平方>＋<立方>＋……＋<n次方>)＝1－<n+1次方>將左式因子分解
1＋＋<平方>＋<立方>＋……＋<n次方>＝(1－<n+1次方>)/1－兩邊同除1－
「這樣一來，你寫的乘冪部分的和就全部變成分數了。然後積的部分就用n。」
「n是π的大寫……」我說。
「對，但是這和圓周率沒關係。n(product)是∑(sum)的乘法形式。隻是剛好積(product)的第一個英文字母p的希臘文字是n而已，而同樣和(sum)的第一個字母s的布臘文字是Σ一樣，n的定義式如下。」米爾迦繼續講解。
n<k=0到m,f(k)>=f(1)xf(2)xf(3)x……xf(m)定義式
「用n的話，積的部分就可以簡潔地表示。」她說道。
※※米爾迦的解答
正整數n質因子分解如下。
n＝n<k=0到m,p<k><a<k>次方>>
設pk為質數，ak為正整數。
此時則由以下算式得n的因子和。
(n的因數和)＝n<k=0到m,(1－p<k><a<k+1>次方>)/(1－p<k>)>
「原來如此，雖然變短，不過文字也變多了。話說回來，米爾迦你今天會去圖書室嗎？」我問。
「不會，今天要去英英那裏練習，她作出新曲子了。」
2.9圖書室
「學長你看，我從國中的課本裏把定義全部抄下來了。這樣我就可以自己練習舉例了。」
蒂蒂找到在圖書室算數學的我，並笑著攤開筆記本。
「喔～～真厲害。」竟然一個晚上就做好了。
「我很喜歡做這個喔，就像做單字本一樣……重新看過課本一次後我才發現，算數和數學有很大的不同點，就是式子裏是否有文字，對吧，學長？」
2.9.1方程式與恒等式
「……那麽，說到關於文字與數學公式的話題，就來談談方程式與恒等式。蒂蒂有解過這個方程式吧？」
－1＝0
「啊，有的，答案是＝1吧。」
「嗯，這樣－1＝0這個方程式就解開了。那這個方程式呢？」
2(－1)＝2－2
「好的，我列式算算看。」
2(－1)＝2－2這是題目
2－2＝2－2將左邊展開
2－2－2＋2＝0再將右邊移項
0＝0計算結果
「咦？變成0＝0了。」
「實際上2(－1)＝2－2這個算式不是方程式而是恒等式。將左邊的2(－1)展開，就會變成和右邊的2－2一樣。也就是說，無論代入任何數，這個算式都會成立。正因為它永遠都成立，所以叫做恒等式，更精確的說法是對的恒等式。」
「方程式與恒等式不一樣嗎？」
「不一樣，所謂的方程式是『當代入某數時，此算式成立』，而恒等式則是『無論代入任何數，此算式皆成立』，兩者相當不同，由方程式衍生出來的會是『求出能讓此算式成立的某個數』這種問題，而恒等式衍生出來的則是『此算式是否代入任何數皆成立？』變成要證明是否為恒等式的問題。」
「原、原來如此，之前都沒有注意到這種差別。」
「嗯，通常是不會
注意到的，不過注意一下會比較好，畢竟大部分的公式都是以恒等式的形式出現。」
「有辦法一看到算式，就知道它是否為恒等式嗎？」
「有時候可以有時候不行，有時候也必須從敘述中判斷，也就是說，必須去判斷寫這個算式的人到底是想要寫方程式還是恒等式。」
「寫算式的人……」
「當一個算式在變化的過程中，都算是恒等式，來看看這個算式。」
(＋1)(－1)＝(＋1)x－(＋1)x1
＝x＋1x－(＋1)x1
＝x＋1x－x1－1x1
＝<平方>＋－－1
＝<平方>－1
「一直都用等號連接，像這樣無論代入任何數，等式都必然成立，也就是變成了一連串的恒等式，一步一步地慢慢來，最後就能得到下麵這個恒等式。」
(＋1)(－1)＝<平方>－1
「原來如此。」
「這一連串的恒等式就是為了要讓人理解才把算式的變化像慢動作一樣表現，所以不要有『啊，好多算式喔』這種負麵想法，一步一步慢慢了解就好……知道了以後來試試看這個算式。」
<平方>－5＋6＝(－2)(－3)
＝0
「兩個等號之中，第一個等號構成了恒等式，也就是『<平方>－5＋6＝(－2)(－3)對所有皆成立』，而第二個等號則是構成方程式。因此上麵這個算式全部代表『用(－2)(－3)＝0來代替<平方>－5＋6＝0求解的意思』。」
「喔～～原來是要這樣理解啊……」
「除了方程式與恒等式，還有定義式。當一個複雜的式子出現時，將它賦予一個名字，進而簡化式子，要賦予名字的時候就使用等號，定義式無法像方程式那樣可以解開，也不用像恒等式一樣需要證明，隻要自己方便就可以了。」
「所謂的定義式，可以舉個例子嗎？」
「譬如將有點複雜的式子α(alpha)＋β(beta)賦予s這個名字。所謂命名——也就是定義——就像下麵的式子。」
s＝α＋β定義式的例子
「學長，我有問題！」
蒂幫活潑地舉起手，由於距離很近，即使不用舉手也沒關係，真是個有趣的女孩啊。
「學長，到這裏我已經快不行了，為什麽要用s呢？」
「其實用什麽都可以。隻是取個名字，不管是s還是t都行，當你定義s＝α＋β之後，後麵要表示α＋β時隻要用s來代替就可以，假如善用定義，就能將算式表現得清楚易懂。」
「我知道了，那α和β又是什麽呢？」
「嗯，這是指在別的地方被定義的文字。當寫成s＝α＋β的時候，一般就是指用等號左邊的文字來將等號右邊的算式命名，也就是說，在定義好α和β構成的算式中，可以用s取代。」
「定義式用什麽名字都可以嗎？」
「是的，基本上什麽都可以，但是不能用已經被定義成其它意思的符號。舉例來說，當已經定義s＝α＋β，倘若之後又定義s＝αβ，那閱讀的人就會混亂了。」
「說得也是，這樣就沒有命名的意義了。」
「還有，若是使用常出現的符號，例如圓周率的π或是虛數單位i等等，也會變得很奇怪。當算式中出現新的符號時，先別急，可以先想想『啊，這是不是定義式呢？』。假如文中有出現像，『s定義為以下……』或是『使α＋β為s』之類的說明，那就一定是定義式了。」
「原來是這樣……」
「是啊，蒂蒂。這次就試著找出數學的書中含有文字的等式吧，像方程式、定義式，或是其它的式子。」
「好的，我會試試看。」
「數學的書裏有很多的算式，這些算式都是某人為了傳達自己的想法寫下的，這些算式的背後一定會有傳達這些訊息的某人。」
「傳達訊息的某人……」
2.9.2積的形成與和的形式
「接下來，在閱讀算式的時候，注意算式整體的形式是很重要的。」
「整體的形式？是什麽意思？」
「譬如這個方程式。」
(－α)(－β)＝0
算式的左邊是乘法，也就是積的形式，一般來說，構成積的每個算式被稱為因式或因數。
(－α)(－β)＝0
↑因式↑
「所謂的因式和因子，跟因式分解有關係嗎？」
「有的，因式分解是將算式分解為積的形式，質因子分解則是分解成質數的積的形式。通常會將乘法的x號省略，所以下麵3個算式的意思是一樣的，都是相同的方程式。」
「有的，因式分解是將算式分解為積的形式，質因子分解則是分解成質數的積的形式。通常會將乘法的x號省略，所以下麵3個算式的意思是一樣的，都是相同的方程式。」
(－α)x(－β)＝0使用x的時候
(－α)x(－β)＝0使用x的時候
(－α)(－β)＝0省略的時候
「好的。」
「然後由於(－α)(－β)＝0，所以兩個因式之中，至少會有一個等於0，這是因為積的形式導出來的結論。」
「我懂了，由於兩數相乘結果為0，所以其中會有一個為0。」
「在敘述上，將『其中一個為0』用『至少會有一個為0』比較好，因為有可能兩邊都是0。」
「啊，『至少會有一個為0』也是一種嚴密的表現嗎？」
「沒錯。那麽，當兩邊至少會有一個為0，就表示－α＝0或－β＝0成立。換句話說，＝α，β就是這個積方程式的解。」
「好的。」
「再來試著將(－α)(－β)展開，你覺得下麵這個算式是方程式嗎？」
(－α)(－β)＝<平方>－α－β＋αβ
「不對不對，這是恒等式。」
「很好，展開之後就從積變成和了，左邊是積的2個因式，右邊是和的4個項。」
「項？」
「構成和的每一個式子稱為項，為了讓你容易懂，我用括號括起來，就像這樣。」
從左向右轉化：展開
(－α)(－β)＝(<平方>)＋(－α)＋(－β)＋(αβ)
從右向左轉化：因式分解
「不過這算式還沒經過整理，看起來有點亂，你要怎麽整理呢？」
<平方>－α－β＋αβ
「是的，把－α或－β這一類帶有的……」
「不是『帶有』，要念成『項』喔。像－α或－β這些隻含有一個的項稱為『對的一次項』或是直接稱為『一次項』。」
「好的，將『對的一次項』整理過後就變成這樣子了。」
<平方>－(α＋β)＋αβ
↑把1次項整合
「蒂蒂，你知道像上述把算式變形稱為『整合同類項』嗎？」
「我知道『整合同類項』，不過之前都沒有特別留意。」
「那我繼續出題，下一個算式是恒等式呢？還是方程式？」
(－α)(－β)＝<平方>－(α＋β)＋αβ
(－α)(－β)＝<平方>－(α＋β)＋αβ
「這是展開之後整合同類項，對所有皆成立的話……是恒等式。」
「正確答案……那麽再往前，首先思考這個方程式吧，這次是積的形式。」
(－α)(－β)
＝0積的形式的方程式
「使用剛才的恒等式，將方程式變成下麵這樣。這就是和的形式的方程式。」
<平方>－(α＋β)＋αβ＝0和的形式的方程式
「這兩個方程式雖然形狀不同，卻是同樣的方程式，隻不過是用恒等式將左邊的算式改變型態而已。」
「是的。」
「當我們看到積形式的方程式時，就要想到方程式的解為＝α，β，而和形式的方程式的解同樣也是＝α，β，畢竟是同樣的方程式。」
(－α)(－β)＝0積的形式的方程式(答案是＝α，β)
↑
↓
<平方>－(α＋β)＋αβ＝0和的形式的方程式(答案同樣是＝α，β)
「簡單的二次方程式隻要用看的就能解答，例如你比較下麵這兩個方程式，是不是長得很像？」
<平方>－(α＋β)＋αβ＝0(答案是＝α，β)
<平方>－5＋6＝0
「的確很像。α＋β會等於5，αβ會等於6。」
「對，也就是說<平方>－5＋6＝0的解，隻要找出兩個數相加會等於5，相乘會等於6即可。換句話說，＝2，3。」
「的確是這個答案。」
「積的形式與和的形式都是算式的形式之一。和的形式＝0有時並不容易解，但是積的形式＝0時就一目了然了。」
「……啊，好像有『懂的感覺』了，『解方程式』和『做出積的形式』有很大的關係吧？」
2.10數學公式的背後是誰？
「為什麽學校的老師沒辦法像學長一樣教得那麽仔細呢？」
「因為我和你是在對話，當你有疑問的時候立刻問我，而我立刻回答，所以才會覺得比較好懂。因此才能一步一步地向前邁進，不要隻是聽老師上課，不懂的地方也可以請教老師……原本回答問題就是老師的專職啊。」
蒂蒂認真地聽著我說話，然後像突然想到什麽似說出：
「學長讀書的時候碰到不懂的地方會怎麽辦？」
「嗯～～假如一直讀都不懂的話，就在書上先做個記號，然後繼續往下讀，讀一陣子之後，再回到原先做記號的地方讀一次，再不懂，就再往下讀，或是讀其它的書，反複來回好幾次，以前我有碰過無論怎麽想都想不出來的算式展開，在經過四天的思考後認為絕對是它寫錯了，所以我就向出版社詢問，結果真的是印錯了。」
「好厲害……不過像這樣慢慢想不是很花時間嗎？」
「是很花時間、非常花時間，不過這是當然的。想想看，在算式背後都有一段曆史，當我們在讀算式的時候，就像是和無數的數學家格鬥，會花時間理解是一定的。當我們展開一道算式，就是超越了幾百年的時光；在我們麵對算式時，我們都是個小小的數學家。」
「小小的數學家？」
「是啊，為了要成為數學家而仔細地閱讀算式，不隻是讀，還要動手寫。我時常都在懷疑自己是否真的理解了，所以我會用寫的確認。」
蒂蒂點頭興奮地說：
「學長說的『算式就是語言』，我也感覺到了，在算式的背後有著某人想要傳達給我的訊息，這個某人或許是學校的老師，或許是編寫課本的人，也或許是幾百年前的數學家……不知不覺間就會越來越想讀數學了。」
蒂蒂仿佛懷抱夢想似地說出感想。
話說回來，蒂蒂在校門口叫住我，就是希望『想跟我談談』。
她邊發出了「嗯～～」的聲音邊伸伸懶腰，然後仿佛自言自語地呢喃：
「啊～～、果然我的心被學長的話語……」
說到一半的她急忙用手搗住嘴巴。
「我的話語？」
「不……沒事……什麽事情都沒有……」
蒂蒂的臉上染上了一片紅色。
第3章w的華爾茲(無名之聲：這標題太美了)
數學的本質是自由。
——康托爾
3.1在圖書室
來到夏天。
今天是期末考結束的日子，我正在圖書室裏推演算式，這時米爾迦進入圖書室，筆直地向我走來。
「旋轉？」她站在我身後看著我的記事本。
「嗯。」
米爾迦戴著金屬框的眼鏡，鏡片上了一層薄薄的藍色，這讓我意識到眼鏡後麵那冷靜的瞳孔。
「隻要思考軸上的單位v式tor向哪裏移動就能懂了，沒必要記吧。」
米爾迦看著我說出結論，她的用語常常很直接，而且還有點怪，總是把向量用v式tor表達。（joyj：別問我，我也不知道這是什麽東西）
「沒關係，隻是練習。」
「假如要推演算式的話，做兩次θ的旋轉就很有趣喔。」米爾迦在我旁邊坐下，並靠近我的耳邊小聲地說，她的θ是用英文zeta發音，從舌頭與齒間擦過的空氣搔著我的耳朵。
「將θ旋轉兩次，然後將算式展開，再來思考『θ旋轉兩次就等於2θ的旋轉』，可以得到兩個關於θ的恒等式。」
米爾迦拿走我手上的筆，在筆記本的右端用小字寫上兩行式子，同時米爾迦的手也碰到了我的手。
cos2θ＝cos<平方>θ－sin<平方>θ
sin2θ＝2sinθcosθ
「這是什麽？」
看著筆記本上的公式，我在心中回答著(兩倍角公式)，但是卻沒有出聲。
「不知道？這是兩倍角公式啊。」
米爾迦站起身，我聞到了淡淡的橘子香。
她開始擺起教師的姿態，不等我回答就繼續說下去，不過一直以來都是如此。
「將θ角的旋轉表示在下麵的式子。」米爾迦說。
◎◎◎
將θ角的旋轉表示在下麵的式子。（joyj：以下為詭異內容……一介高中生不懂，請多包涵）
|cosθ－sinθ|
||
|sinθcosθ|
『將θ角連續旋轉2次』就相當於上式的平方。
|cosθ－sinθ|<平方>|cos<平方>θ－sin<平方>θ－2sinθcosθ|
||=| |
|sinθcosθ||2sinθcosθcos<平方>θ－sin<平方>θ|
所以『將θ角連續旋轉2次』可以視為『旋轉2θ』因此上麵的式子就等於下麵的式子。
|cos2θ－sin2θ|
||
|sin2θcos2θ|
比較算式的內容，可以得到以下兩個等式。
cos2θ＝cos2θ－sin2θ
sin2θ＝2sinθcosθ
也就是說cos2θ與sin2θ可以用cosθ與sinθ表現，將2θ用θ表示的式子，就稱為兩倍角公式，將旋轉以算式呈現並重新解釋其中的內容，就可以導出兩倍角公式。
用等號表示『2θ旋轉一次』與『θ旋轉2次』兩者相同，發現兩種姿態其實是同樣的東西時，是一件多美好的事情啊。
◎◎◎
聽著米爾迦說話的同時，我的腦袋在思考著另外一件事情。聰明的女孩，美麗的女孩，當注意到兩者其實是同一個人時，是一件多美好的事情啊。(無名之聲：專心學你的數學吧，人渣。話說高中就懂等距變換，這人難道是搞數學奧賽的？)（joyj:我求真相，我求等距變換真相==）
然而我仍舊不發一語，默默地聽著米爾迦說話。
3.2振動與旋轉
先不管之前的算式……米爾迦邊說邊在我的筆記本中寫下了這樣的問題。
※※問題3－1
用n表示下列一般項a<n>。
n01234567……
a<n>10－1010－10……
「解得出來嗎？」
「很簡單啊，數列在1，0，一1之間來回，或是說成振動比較好？」我回答。
「喔，原來你是這樣看這個數列的。」
「不對嗎？」
「不，你的想法沒錯，那麽……請將這個『振動』用一般項表現出來。」
「一般項……也就是說用n表示a<n>就行了吧。嗯，將狀況分類的話就馬上有答案了。」
a<n>=1 (n=0,4,8…,4k,…)
a<n>=0(n=1,5,9…,4k+1,…)
a<n>=－1(n=2,6,10…,4k+2,…)
「嗯，是沒錯，不過這樣就不像振動了。」
米爾迦閉上雙眼，食指左右搖晃。
「那麽接下來思考這個問題，要怎麽化成一般項呢？」她張開眼睛問著。
※※問題3－2
用n表示下列一般項b<n>。
n01234567……
b<n>1i－1－i1i－1－i……
「i是指<根號－1>嗎？」我提出問題。
「除了虛數單位以外還有別的i嗎？」
「不……算了，先不管這個。這個數列b<n>在n為偶數時是＋1或－1，當n為奇數時為＋i或－i，這也是振動的一種嗎？」
「當然不是，你將這個數列當成是振動？」
「除此之外還有別的理解方式嗎？」我問。
米爾迦在閉上眼的一瞬間回答。
「用複數平麵思考看看吧。複數平麵就是軸是實數軸，y軸是虛數軸的坐標平麵，這樣的話，全部的複數都能在這平麵上以點來表現。」
複數數←→點
＋yi←→(，y)
將問題3－2的數列b<n>用複數的列思考的話，1就是1＋0i，i就是0＋1i。
1＋0i，0＋1i，－1＋0i，0－1i，1＋0i，0＋1i，－1＋0i，0－1i，……
將數列bn在複數平麵上以點來表示，就會出現這樣的圖。
(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，1)，……
[插圖：平麵直角坐標係，描出四點(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)]
「啊，原來如此。就會在菱形……應該說是正方形的頂點間移動啊。」我一邊說一邊在圓上畫線。
[插圖：平麵直角坐標係，描出四點(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，逆時針順次以直箭頭連接，即(1，0)→(0，1)，(0，1)→(－1，0)，(－1，0)→(0，－1)，(0，－1)→(1，0)。最終箭頭構成一個完整的菱形]
「喔，你將點連成這種圖形啊，確實這樣也可以。」
「除了正方形之外還有別的圖形嗎？」我問。
「你的腦袋出乎意料地硬呢，這種圖形呢？」米爾迦回答。
[插圖：平麵直角坐標係，描出四點(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，逆時針順次以彎箭頭連接，即(1，0)→(0，1)，(0，1)→(－1，0)，(－1，0)→(0，－1)，(0，－1)→(1，0)。最終箭頭構成一個完整的圓形]
「是圓……」
「沒錯，是圓，半徑為1的單位圓，在複數平麵上以原點為中心的單位圓，這是將複數的列表現成單位圓上的點。」
「單位圓……」
「通常單位圓上的點會以這樣的複數來表示。」
cosθ＋isinθ
「唔……對了，θ就是單位向量(1，0)的旋轉角啊。」
[插圖：平麵直角坐標係，描出(1，0)，在第一象限描出任意一點(cosθ,sinθ)。連接(cosθ,sinθ)與原點，這條線與軸正半軸所成的角為“幅角θ”]
「沒錯。我們稱θ為幅角，複數與點的對應關係就像……」
複數數←→點
cosθ＋isinθ←→(cosθ，sinθ)
「將問題3－2的數列視為將正方形……不……將圓周四等分的點。要如何表現這四個等分點呢？」米爾迦對我說。
「θ為90度……也就是說以每弧度π/2增加就行了，幅角為θ＝0，π/2，π，3π/2，……也就是說下麵四個複數為圓的四個等分點。」我回答。
cos0(π/2)＋isin0(π/2)
cos1(π/2)＋isin1(π/2)
cos2(π/2)＋isin2(π/2)
cos3(π/2)＋isin3(π/2)
「沒錯。如此一來，數列bn的一般項就可以表示成下麵的式子。」米爾迦說。
※※解答3－2
bn＝(π/2)＋isinn(π/2)(n＝0，1，2，3，……)
「然後再回到問題3－1的an。」
a<n>＝1，0，－1，0，1，0，－1，0，……
「你說an的1，0，－1是振動吧，其實那個問題也可以用一樣的思考方式解決。」
※※解3－1
a<n>＝(π/2)(n＝0，1，2，3，……)
「咦……為什麽？」
「可以用圖形來思考，試著將剛才bn那四個等分點投影到實數軸，就可以看到振動的樣子，所以說『振動是旋轉的影子』。」
[插圖：平麵直角坐標係，描出四點(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，逆時針順次以彎箭頭連接，即(1，0)→(0，1)，(0，1)→(－1，0)，(－1，0)→(0，－1)，(0，－1)→(1，0)。最終箭頭構成一個完整的圓形。之後，在此圖下畫實數軸，在(1，0)、(－1，0)、(0，－1)處作三條豎直線段投影到實數軸上]
「數列a<n>可以有很多種不同的看法，可以當成『單純的整數排列』，或是『在實數的在線振動的點』，以及『在複數平麵上旋轉的點』，當你意識到看見的是投影在一次元在線的影子時，你就能想象出在二次元的圓。當意識到所見的是投影時，就能發現更高次元的結構。但是通常並不容易被發覺。」
「……」
「從整數到實數的數線，再從數線到複數平麵，不斷地思考更高的次元。於是表現就變得簡單明了，可以說越簡單明了，就越象征『理解』吧。給予一部分的數列，然後思考下一個數，這並不單隻是謎題，而是要探究隱藏在一般項之後的結構。」
我說不出話。
「必要的是眼睛，然而不是這個眼睛……」
米爾迦邊說邊指了指自己的眼睛。
「要看穿結構，需要的是心眼。」
3.3w的華爾茲
「那麽，下個問題。」米爾迦說。
※※問題3－3
用n表示下例一般項>
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