第 209 章 均值換元法之妙
一日，學堂之內，戴浩文正欲講授新的知識。
戴浩文輕拂衣袖，緩聲道：“今日為師要與爾等傳授一種奇妙之法，名曰均值換元法。”
眾學子皆正襟危坐，目光炯炯。
李華拱手問道：“先生，此均值換元法究竟何意？”
戴浩文微笑著回道：“莫急，且聽為師慢慢道來。假設有一方程，形如 x + y = 10，且知 x - y = 2，若要求此 x 與 y 之值，當如何解之？”
張明皺眉思索片刻，道：“先生，吾等可否先消元求解？”
戴浩文微微搖頭，道：“此法可行，然今之所學乃均值換元。吾等可設 x = a + b，y = a - b，其中 a 為 x 與 y 之均值，b 為二者之差之半。”
王強疑惑道：“先生，為何如此設之？”
戴浩文耐心解釋道：“如此設之，可使方程簡化，易於求解。今設罷，將其代入上述方程，可得何？”
趙婷輕聲道：“則有 (a + b) + (a - b) = 10，2a = 10，a = 5。”
戴浩文點頭稱許：“趙婷聰慧。那再看 x - y 之方程，又當如何？”
李華忙道：“則為 (a + b) - (a - b) = 2，2b = 2，b = 1。”
戴浩文撫掌笑道：“善！既得 a = 5，b = 1，那 x 與 y 之值為何？”
張明恍然道：“則 x = a + b = 6，y = a - b = 4。”
戴浩文又道：“此乃簡單之例，若方程更為複雜，如 x2 + y2 = 25，x + y = 7，又當如何？”
王強撓頭道：“先生，此事更為難解。”
戴浩文笑曰：“依舊可用均值換元，設 x = u + v，y = u - v。則 x2 + y2 = (u + v)2 + (u - v)2 = 2(u2 + v2) = 25，u2 + v2 = 25\/2。又 x + y = 2u = 7，u = 7\/2。”
趙婷接著道：“那 v2 = 25\/2 - 49\/4 = 1\/4，v = ±1\/2。”
戴浩文頷首：“極是。如此可得 x 與 y 之值。”
李華歎道：“先生，此均值換元法甚是巧妙，然需多加練習方能熟練運用。”
戴浩文正色道：“誠然。數學之法，皆需勤加研習，方能融會貫通。今再看此例，若 x3 + y3 = 35，x + y = 5，汝等試解之。”
眾學子紛紛低頭思索，奮筆計算。
戴浩文在堂中踱步，不時指點一二。
......
如此，在師生的一問一答、一思一解之中，學子們對於均值換元法的理解愈發深刻，學問亦日益精進。一日授課結束，學子們散去，唯張明留於堂中。
張明近前，拱手道：“先生，弟子於均值換元法仍有幾處不明，望先生解惑。”
戴浩文和顏悅色道：“但說無妨。”
張明道：“若所給方程並非兩式，僅一式，如 x2 + 2xy + y2 = 9，當如何用均值換元？”
戴浩文思索片刻，道：“此式可化為 (x + y)2 = 9，仍可設 x + y = u，解之可得 u 值，進而求得 x 與 y。”
張明又問：“那若式中含分數，又當如何？”
戴浩文輕道：“莫慌，若如 (x + 1\/2y)2 = 4，可設 x + 1\/2y = v ，照此前之法求解。”
張明似有所悟，點頭道：“多謝先生，然弟子在計算時，常易出錯，不知先生有何妙法？”
戴浩文笑曰：“計算之要，在於心細。每步皆需謹慎，運算完畢，當複查之。”
張明再道：“先生，此均值換元法於生活中可有實用之處？”
戴浩文緩緩道：“生活諸多情境，皆含數理。若分物、量地，或算財貨收支，皆可能用之。”
張明眼睛一亮，道：“原來如此，先生教誨，弟子銘記。”
數日後，課堂之上。
戴浩文問道：“前幾日所講均值換元法，爾等可還記得？”
眾學子齊聲應道：“記得。”
戴浩文道：“那吾出一題，以驗汝等所學。已知 x + 3y = 12，x2 + 3y2 = 30，求 x 與 y 之值。”
學子們紛紛提筆計算，少頃，李華起身道：“先生，弟子算得 x = 3，y = 3。”
戴浩文微微點頭，道：“李華算得不錯，還有其他解法否？”
王強起身道：“先生，弟子設 x = 6 + m，y = 2 - m ，解得相同之結果。”
戴浩文讚道：“王強亦佳。”
趙婷道：“先生，若式中含參數，又當如何？”
戴浩文道：“含參數亦無妨，依均值換元之理，細心求解即可。”
如此，學子們在戴浩文的教導下，對均值換元法的掌握日益嫻熟。
一日，學堂之內，戴浩文正欲講授新的知識。
戴浩文輕拂衣袖，緩聲道：“今日為師要與爾等傳授一種奇妙之法，名曰均值換元法。”
眾學子皆正襟危坐，目光炯炯。
李華拱手問道：“先生，此均值換元法究竟何意？”
戴浩文微笑著回道：“莫急，且聽為師慢慢道來。假設有一方程，形如 x + y = 10，且知 x - y = 2，若要求此 x 與 y 之值，當如何解之？”
張明皺眉思索片刻，道：“先生，吾等可否先消元求解？”
戴浩文微微搖頭，道：“此法可行，然今之所學乃均值換元。吾等可設 x = a + b，y = a - b，其中 a 為 x 與 y 之均值，b 為二者之差之半。”
王強疑惑道：“先生，為何如此設之？”
戴浩文耐心解釋道：“如此設之，可使方程簡化，易於求解。今設罷，將其代入上述方程，可得何？”
趙婷輕聲道：“則有 (a + b) + (a - b) = 10，2a = 10，a = 5。”
戴浩文點頭稱許：“趙婷聰慧。那再看 x - y 之方程，又當如何？”
李華忙道：“則為 (a + b) - (a - b) = 2，2b = 2，b = 1。”
戴浩文撫掌笑道：“善！既得 a = 5，b = 1，那 x 與 y 之值為何？”
張明恍然道：“則 x = a + b = 6，y = a - b = 4。”
戴浩文又道：“此乃簡單之例，若方程更為複雜，如 x2 + y2 = 25，x + y = 7，又當如何？”
王強撓頭道：“先生，此事更為難解。”
戴浩文笑曰：“依舊可用均值換元，設 x = u + v，y = u - v。則 x2 + y2 = (u + v)2 + (u - v)2 = 2(u2 + v2) = 25，u2 + v2 = 25\/2。又 x + y = 2u = 7，u = 7\/2。”
趙婷接著道：“那 v2 = 25\/2 - 49\/4 = 1\/4，v = ±1\/2。”
戴浩文頷首：“極是。如此可得 x 與 y 之值。”
李華歎道：“先生，此均值換元法甚是巧妙，然需多加練習方能熟練運用。”
戴浩文正色道：“誠然。數學之法，皆需勤加研習，方能融會貫通。今再看此例，若 x3 + y3 = 35，x + y = 5，汝等試解之。”
眾學子紛紛低頭思索，奮筆計算。
戴浩文在堂中踱步，不時指點一二。
......
如此，在師生的一問一答、一思一解之中，學子們對於均值換元法的理解愈發深刻，學問亦日益精進。一日授課結束，學子們散去，唯張明留於堂中。
張明近前，拱手道：“先生，弟子於均值換元法仍有幾處不明，望先生解惑。”
戴浩文和顏悅色道：“但說無妨。”
張明道：“若所給方程並非兩式，僅一式，如 x2 + 2xy + y2 = 9，當如何用均值換元？”
戴浩文思索片刻，道：“此式可化為 (x + y)2 = 9，仍可設 x + y = u，解之可得 u 值，進而求得 x 與 y。”
張明又問：“那若式中含分數，又當如何？”
戴浩文輕道：“莫慌，若如 (x + 1\/2y)2 = 4，可設 x + 1\/2y = v ，照此前之法求解。”
張明似有所悟，點頭道：“多謝先生，然弟子在計算時，常易出錯，不知先生有何妙法？”
戴浩文笑曰：“計算之要，在於心細。每步皆需謹慎，運算完畢，當複查之。”
張明再道：“先生，此均值換元法於生活中可有實用之處？”
戴浩文緩緩道：“生活諸多情境，皆含數理。若分物、量地，或算財貨收支，皆可能用之。”
張明眼睛一亮，道：“原來如此，先生教誨，弟子銘記。”
數日後，課堂之上。
戴浩文問道：“前幾日所講均值換元法，爾等可還記得？”
眾學子齊聲應道：“記得。”
戴浩文道：“那吾出一題，以驗汝等所學。已知 x + 3y = 12，x2 + 3y2 = 30，求 x 與 y 之值。”
學子們紛紛提筆計算，少頃，李華起身道：“先生，弟子算得 x = 3，y = 3。”
戴浩文微微點頭，道：“李華算得不錯，還有其他解法否？”
王強起身道：“先生，弟子設 x = 6 + m，y = 2 - m ，解得相同之結果。”
戴浩文讚道：“王強亦佳。”
趙婷道：“先生，若式中含參數，又當如何？”
戴浩文道：“含參數亦無妨，依均值換元之理，細心求解即可。”
如此，學子們在戴浩文的教導下，對均值換元法的掌握日益嫻熟。