以下的分析將幫助用戶理解進化如何成為一種雙倍指數增長的現象（也就是說，指數增長中的指數增長速度（指數）本身也在以指數速度增長）。盡管這裏的公式與進化的其他方麵相似，但是我將在後麵的內容中描述計算能力的增長，特別是基於信息的過程和技術，其中包括人類智能的知識，它是軟件智能的主要源頭。
我們將關注以下三方麵內容：
v：計算（以每單元造價每秒產生的計算能力衡量）的速度（這裏是指能力）
w：用於設計和構建計算設備的世界知識
t：時間
在第一級的分析中，我們通過w的一維線性函數審視計算機能力。我們還注意到w在不斷累積。這是由相關的技術算法以增量的方式累積為基礎。就人腦而言，進化心理學家認為大腦是一個巨大的模擬智能係統，並且隨著時間的流逝以增量的方式進化。同樣在這個簡單的模型中，瞬間增加的知識與計算能力成正比。通過觀察得到的結論隨著時間的增長，計算能力呈指數方式增長。
換言之，計算機的能力就是用於構建計算機的知識的線性函數。這實際上是一個保守的估計。總之，創新是通過很多種方式而非附加的方式來提升v值的。獨立的創新（每一次創新代表著知識的線性增加）將成倍地提升彼此的效果。例如，cmos（互補金屬氧化物半導體）是電路技術的一項進步，它是一種高效的集成電路布線方法；流水線是處理器的一項重要創新；傅裏葉快速變換是一種算法的改進；所有這些都是通過獨立相乘的方式增加了v值。
在開始階段，我們可以觀察到：
計算的速率正比於世界的知識：
（1）v=c<sub><small>1</small>w
世界知識改變的速率正比於計算的速率：
將（1）帶入（2），可得：
進一步可以得到：
（4）w=w<sub><small>0</small>e<small>（c<sub><small>1</small>c<sub><small>2</small>l）</small>
w將隨著時間以指數速度增長（e是自然對數的底）。
數據顯示將以指數增長的方式增長（在20世紀早期，計算機的能力以每3年的時間翻倍；20世紀中葉，計算機能力翻倍所需時間為2年；現在計算機能力每年都會翻倍）。技術的指數增長能力導致了經濟的指數增長。這是從過去一個世紀得出的結論。有意思的是，經濟蕭條（包括20世紀30年代的經濟大蕭條）以弱周期出現於潛在的指數增長之上。在每次經濟蕭條後，經濟又得到了迅速恢複，似乎經濟蕭條和衰退從來就未曾發生過。我們可以看到某些特定行業呈更快的指數增長趨勢，這些行業與那些指數增長的技術相關聯，如計算機工業。
如果將指數增長的資源作為計算的重要因素，我們可以看指數增長的第二層次：讓我們來再看下麵的公式：
（5）v=c<sub><small>1</small>w
現在包含用於計算的資源部署n：
（6）n=c<sub><small>3</small>e<small>（c<sub><small>4</small>t）</small>
現在世界知識的變化率與計算速度和部署的資源的乘積成正比：
將（5）和（6）帶入（7）可得：
進一步可以得到：
世界知識就以兩倍的指數增長速率累積。
現在讓我們考慮現實世界中的數據。在第3章中，我估計了人腦的計算能力，基於對人腦所有區域功能模擬的需求估算，人腦的計算能力為10<small>16</small>cps。模擬每個神經元和神經元間連接間的突觸的非線性需要更高數量級的計算。10<small>11</small>的神經元乘以每個神經元（計算主要發生於這些連接中）10<small>3</small>的連接，乘以每秒10<small>2</small>事務處理，再乘以每次事務處理需要的10<small>3</small>計算——總共的計算能力為10<small>19</small>cps。下麵的分析假設了功能模擬的計算級（10<small>16</small>cps）：
分析3
考慮20世紀的實際計算設備和計算機的數據：
令s=cps/$1k：花費1000美元獲得的每秒的計算能力。
20世紀的計算數據由以下公式計算：
假定一段時期的增長率為g，可得：
sc是當年的cps/$1k,sp是之前某年的cps/$1k,yc是當年的年份，yp是之前某年的年份。
人腦=10<small>16</small>cps
人類種族=100億個人腦=10<small>26</small>cps
2023年我們能夠用1000美元達到人腦的計算能力（10<small>16</small>cps）。
2037年我們能夠用1美分達到人腦的計算能力（10 <small>16</small>cps）。
2049年我們能夠用1000美元達到整個人類的計算能力（10<small>26</small>cps）。
如果我們考慮經濟指數增長的因素，特別考慮到可用的計算資源（已經達到了每年1萬億美元），在21世紀中葉之前，非生物智能將比生物智能強大數十億倍。
我還可以通過另外的方法推導出雙倍的指數增長。從以上的論述可以看出知識增加的速率至少與當時的知識呈正比。這清晰地表明很多更新（知識的增加）是以“乘法”的方式而非“加法”的方式增長的。
盡管如此，我們還是能夠得到如下指數增長公式：
其中c＞1，可以得到以下結論：
當t＜1/lnc時，w以較慢的對數增長，但是當達到奇點，即t=1/lnc時，w將爆炸式地激增。
甚至對於最緩和的模型dw/dt=w<small>2</small>，同樣將導致奇點的到來。
事實上任何能力增長法則都遵循以下的形式：
其中a＞1，如此便得到在時間t關於奇點的另一個解決方案：
a的值越大，越接近奇點。
在我看來，很難想象依據有限的知識，並考慮到非常有限的物質和能量資源，可以計算出達到指數雙倍指數增長過程的日期。增量（如w）看起來可以是如下形式w*log（w）。它描述了網絡影響。如果我們有一個類似於互聯網的網絡，它的影響或價值將正比於n*log（n）。鮑勃·梅特卡夫（以太網的發明人）認為有n個節點的網絡的價值等於c*n<small>2</small>，但其價值被過於誇大了。如果互聯網的規模增倍，其價值也會增加，但不會成倍增加。一種合理的估計是，網絡對於每個用戶的價值將正比於對網絡規模取自然對數值。故網絡的價值將正比於n*log（n）。
如果在增長速率時引入對數網絡的影響，我們能夠獲得如下速率變化的等式：
如此，雙倍指數增長的解決公式變為：
（15）w=exp（e<small>t</small>）
我們將關注以下三方麵內容：
v：計算（以每單元造價每秒產生的計算能力衡量）的速度（這裏是指能力）
w：用於設計和構建計算設備的世界知識
t：時間
在第一級的分析中，我們通過w的一維線性函數審視計算機能力。我們還注意到w在不斷累積。這是由相關的技術算法以增量的方式累積為基礎。就人腦而言，進化心理學家認為大腦是一個巨大的模擬智能係統，並且隨著時間的流逝以增量的方式進化。同樣在這個簡單的模型中，瞬間增加的知識與計算能力成正比。通過觀察得到的結論隨著時間的增長，計算能力呈指數方式增長。
換言之，計算機的能力就是用於構建計算機的知識的線性函數。這實際上是一個保守的估計。總之，創新是通過很多種方式而非附加的方式來提升v值的。獨立的創新（每一次創新代表著知識的線性增加）將成倍地提升彼此的效果。例如，cmos（互補金屬氧化物半導體）是電路技術的一項進步，它是一種高效的集成電路布線方法；流水線是處理器的一項重要創新；傅裏葉快速變換是一種算法的改進；所有這些都是通過獨立相乘的方式增加了v值。
在開始階段，我們可以觀察到：
計算的速率正比於世界的知識：
（1）v=c<sub><small>1</small>w
世界知識改變的速率正比於計算的速率：
將（1）帶入（2），可得：
進一步可以得到：
（4）w=w<sub><small>0</small>e<small>（c<sub><small>1</small>c<sub><small>2</small>l）</small>
w將隨著時間以指數速度增長（e是自然對數的底）。
數據顯示將以指數增長的方式增長（在20世紀早期，計算機的能力以每3年的時間翻倍；20世紀中葉，計算機能力翻倍所需時間為2年；現在計算機能力每年都會翻倍）。技術的指數增長能力導致了經濟的指數增長。這是從過去一個世紀得出的結論。有意思的是，經濟蕭條（包括20世紀30年代的經濟大蕭條）以弱周期出現於潛在的指數增長之上。在每次經濟蕭條後，經濟又得到了迅速恢複，似乎經濟蕭條和衰退從來就未曾發生過。我們可以看到某些特定行業呈更快的指數增長趨勢，這些行業與那些指數增長的技術相關聯，如計算機工業。
如果將指數增長的資源作為計算的重要因素，我們可以看指數增長的第二層次：讓我們來再看下麵的公式：
（5）v=c<sub><small>1</small>w
現在包含用於計算的資源部署n：
（6）n=c<sub><small>3</small>e<small>（c<sub><small>4</small>t）</small>
現在世界知識的變化率與計算速度和部署的資源的乘積成正比：
將（5）和（6）帶入（7）可得：
進一步可以得到：
世界知識就以兩倍的指數增長速率累積。
現在讓我們考慮現實世界中的數據。在第3章中，我估計了人腦的計算能力，基於對人腦所有區域功能模擬的需求估算，人腦的計算能力為10<small>16</small>cps。模擬每個神經元和神經元間連接間的突觸的非線性需要更高數量級的計算。10<small>11</small>的神經元乘以每個神經元（計算主要發生於這些連接中）10<small>3</small>的連接，乘以每秒10<small>2</small>事務處理，再乘以每次事務處理需要的10<small>3</small>計算——總共的計算能力為10<small>19</small>cps。下麵的分析假設了功能模擬的計算級（10<small>16</small>cps）：
分析3
考慮20世紀的實際計算設備和計算機的數據：
令s=cps/$1k：花費1000美元獲得的每秒的計算能力。
20世紀的計算數據由以下公式計算：
假定一段時期的增長率為g，可得：
sc是當年的cps/$1k,sp是之前某年的cps/$1k,yc是當年的年份，yp是之前某年的年份。
人腦=10<small>16</small>cps
人類種族=100億個人腦=10<small>26</small>cps
2023年我們能夠用1000美元達到人腦的計算能力（10<small>16</small>cps）。
2037年我們能夠用1美分達到人腦的計算能力（10 <small>16</small>cps）。
2049年我們能夠用1000美元達到整個人類的計算能力（10<small>26</small>cps）。
如果我們考慮經濟指數增長的因素，特別考慮到可用的計算資源（已經達到了每年1萬億美元），在21世紀中葉之前，非生物智能將比生物智能強大數十億倍。
我還可以通過另外的方法推導出雙倍的指數增長。從以上的論述可以看出知識增加的速率至少與當時的知識呈正比。這清晰地表明很多更新（知識的增加）是以“乘法”的方式而非“加法”的方式增長的。
盡管如此，我們還是能夠得到如下指數增長公式：
其中c＞1，可以得到以下結論：
當t＜1/lnc時，w以較慢的對數增長，但是當達到奇點，即t=1/lnc時，w將爆炸式地激增。
甚至對於最緩和的模型dw/dt=w<small>2</small>，同樣將導致奇點的到來。
事實上任何能力增長法則都遵循以下的形式：
其中a＞1，如此便得到在時間t關於奇點的另一個解決方案：
a的值越大，越接近奇點。
在我看來，很難想象依據有限的知識，並考慮到非常有限的物質和能量資源，可以計算出達到指數雙倍指數增長過程的日期。增量（如w）看起來可以是如下形式w*log（w）。它描述了網絡影響。如果我們有一個類似於互聯網的網絡，它的影響或價值將正比於n*log（n）。鮑勃·梅特卡夫（以太網的發明人）認為有n個節點的網絡的價值等於c*n<small>2</small>，但其價值被過於誇大了。如果互聯網的規模增倍，其價值也會增加，但不會成倍增加。一種合理的估計是，網絡對於每個用戶的價值將正比於對網絡規模取自然對數值。故網絡的價值將正比於n*log（n）。
如果在增長速率時引入對數網絡的影響，我們能夠獲得如下速率變化的等式：
如此，雙倍指數增長的解決公式變為：
（15）w=exp（e<small>t</small>）