<blockquote>
愛因斯坦任職的普魯士科學院成立於1700年，受到過腓特烈大帝（1712—1786）的慷慨資助。每逢腓特烈大帝生日，科學院都要舉行學術研討會。在1921年1月27日的紀念會上，愛因斯坦做了這一備受讚譽的演講。
在這裏，愛因斯坦做出了明確的區分：數學幾何學和物理幾何學。據愛因斯坦在布拉格的教席的繼承者菲利普·弗蘭克（philipp frank，1884—1966）教授判斷，這一講座“通過其明確的表述將秩序帶入了經常出現混淆的領域，並且在某些情況下甚至在數學家和物理學家中仍占優勢的混淆領域。從那以後，愛因斯坦的表述被認為是最清晰和最好的，即使哲學家也這樣認為”。
與愛因斯坦交往密切的哲學家石裏克（moritz schlick，1882—1936）在1918年出版了《普通認識論》。一年前，石裏克在愛因斯坦的影響下發表了題為《空間與時間》（raum und zeit）的文章。
法國數學家亨利·龐加萊在1911與居裏夫人一起大力推薦愛因斯坦從布拉格回到母校蘇黎世聯邦理工學院擔任理論物理學教授。
本文倒數第二段提到的“已被水星事件所證實”一事，指的是針對1919年3月29日的日全食，英國組織的兩次科學探險，一支到巴西北部，另一支到西非小島普林西比。1952年2月25日的日全食，全世界有多支探險隊帶著精良設備和新的測量方法到蘇丹（喀土穆）來驗證光線的曲率。1916年，愛因斯坦計算出1.75秒弧光偏轉。1919年5月29日，英國探險隊的測量結果為1.64弧秒。1952年，科學家們以1.70秒的弧度接近愛因斯坦的計算值。從那時起，人們一直在測量這一數值。 </blockquote>
與其他所有科學相比，數學受到特別尊重的一個原因，在於它的命題絕對可靠、沒有爭議，而其他所有科學的命題在某種程度上都有爭議，並且隨時可能被新發現的事實推翻。盡管如此，如果數學命題涉及的對象僅存於想象之中，而非實在，那麽其他科學部門的研究者就無須羨慕數學家。當人們已經就基礎性命題（公理）以及由此推出其他命題的方法達成共識時，那麽毫不奇怪，不同的人將得到相同的邏輯結論。但是數學聲望崇高還有另一個原因，是它為精確自然科學提供了一定程度的確定性，離開數學就做不到這一點。
這裏就出現了一個謎，在過去的時間裏一直激發著人類的好奇心。數學歸根到底是獨立於經驗的人類思想的產物，它怎麽會如此精妙地契合現實呢？那麽，不憑經驗僅靠思考的人類理性，能徹底了解真實事物的性質嗎？
以我之見，這個問題的答案簡單來說就是：隻要數學命題涉及實體，它們就是不可靠的；隻要它們是可靠的，就不涉及實體。在我看來，隻有沿著數學中被稱為“公理學”（axiomatik）的方向，人們才能普遍地完全清楚事物的這個狀況。公理學取得的進步，在於巧妙地將邏輯—形式與其客觀或直覺內容分開；根據公理學，邏輯—形式自己就足夠形成數學的主題內容，而後者不涉及直覺或其他有關邏輯—形式的內容。
我們暫時從這個角度思考幾何學的任何一個公理，比如：兩點之間有且僅有一條直線。過去和現在都是怎麽解釋這個公理的呢？
過去的解釋：每人都知道什麽是直線，什麽是點。這個知識的起源是人類思考的能力、經驗、二者的結合，還是其他來源，這不是數學家能決定的，要留給哲學家去解決。上述公理以這種先於所有數學之前的知識作為自己的根據，它像其他所有公理一樣，是不證自明的，就是說，它是先驗知識的一個表達。
現在的解釋：幾何學探討的是用線、點等表示的對象。人們僅僅設定公理的正確性，而不是這些對象相關的知識或直覺。這些公理，比如上述公理，就是一種純粹形式意義上的，即沒有任何直覺或經驗的內容。這些公理是人類智力的自由創造。幾何學中所有其他命題都是從這個公理中邏輯推理出的（僅是唯名論意義上）。公理明確了幾何學探討的對象。所以，石裏克在他關於認識論的書中，十分恰當地將公理描繪為“隱定義”。
現代公理學擁護這種公理觀點，它淨化掉一切和數學無關的因素，消除了以往圍繞數學基礎的神秘和晦澀。但是，這樣的修正闡述也讓人們明顯看到：這樣的數學本身不能做出任何有關我們的直覺對象或實在對象的預測。在公理幾何學中，“點”“直線”等詞語僅僅是空無一物的概念，數學不賦予它們內容。
然而在另一方麵，一般來說，數學，尤其是幾何學的存在，肯定是因為人們需要了解實在對象的行為。幾何學一詞的原意是土地測量，就證明了這一點。因為土地測量與某些自然物體相互間的排列可能性有關，比如說土地、測量線、測量杖等等。很明顯，公理幾何學概念體係自身不能對這種實在對象（以後我們稱之為實際剛體）的行為做出任何陳述。要做到這一點，幾何學必須剝去它的單純邏輯形式特征，把經驗的實在對象與公理幾何學空洞的概念聯係起來。為此，我們隻要增加這個命題：固體間可能的排列關係，就像三維歐幾裏得幾何中的物體一樣。這樣，歐幾裏得的命題就包含了實際剛體行為的陳述。
這樣建立的幾何學顯然是一門自然科學；事實上，我們可以將它看作物理學最古老的分支。它的陳述本質上依賴經驗歸納，而不僅是邏輯推理。我們稱這樣的幾何學為“實用幾何學”，接下來和“純粹公理幾何學”做區分。宇宙的實用幾何學到底是不是歐幾裏得幾何，這一問題有清楚的意義，並且隻能由經驗給出答案。如果一個人利用光沿直線傳播的經驗規律，而且這裏的直線是實用幾何學意義上的，那麽物理中所有長度度量就在這個意義上構成了實用幾何學，測地學和天文學的長度量度就是如此。
我特別強調我剛提出的幾何學觀點，因為沒有它我就不能建立相對論，沒有它我就不可能有下麵的思考：在一個相對某慣性係旋轉的參考係中，由於洛倫茲收縮，支配剛體的規律不符合歐幾裏得幾何；因此，如果我們平等地承認非慣性係，就必須放棄歐幾裏得幾何。沒有上述理解，就不會邁出向廣義協變方程過渡的決定性一步。如果我們擯棄公理學的歐幾裏得幾何對象和現實的實際剛體之間的關係，就很容易得出下麵的觀點，也就是敏銳而深刻的思想者——龐加萊主張的觀點：歐幾裏得幾何之所以勝過所有其他可能的公理幾何，是因為其簡單性。現在，因為公理幾何學本身不包含關於經驗實在的陳述，除非同物理規律結合，所以無論實在的本質如何，保留歐幾裏得幾何的做法都應該是可能與合理的。因為一旦理論和經驗出現矛盾，我們寧可決定改變物理定律，也要保全公理學的歐幾裏得幾何。如果人們拒絕承認真實的剛體與幾何學的關係，就不能輕易放棄那種認為歐幾裏得幾何學是最簡單的習慣看法。
為什麽龐加萊和其他研究者要擯棄（看起來天經地義的）實際剛體和幾何主體的等效性呢？這不過是因為在進一步考察後，發現自然界的真正固體不是剛性的，它們的幾何行為，即相對位置的可能性，取決於溫度、外力等等。這似乎破壞了幾何與物理實體之間原初的直接關係，使我們被迫接受下麵的更普遍的觀點，也就是龐加萊的立場：幾何學（g）對真實事物的行為不能做任何論斷，隻有加上物理規律（p）才能。用符號來表示，我們可以說實驗驗證隻能驗證（g）+（p）的和。因此（g）可以任意選擇，（p）的某些部分也一樣；所有這些規律都是約定。為消除矛盾，必須要做的就是決定（p）裏哪些是不能保留的，這樣（p）的整體和（g）加起來就符合經驗了。用這種方式看，公理幾何學和自然規律已成為約定的部分在認識論意義上是等效的。
在我看來，從永恒的角度看（sub specie aeterni），龐加萊是正確的。相對論中量尺概念和與之協調的時鍾概念，在真實世界中找不到精確的對應物。在物理學的概念體係中，固體和時鍾扮演的角色也明顯不是基本元素，它們有複合的結構，在理論物理中並非獨立。但是我堅信，在理論物理發展的現階段，仍然必須把它們當作獨立概念使用；因為我們掌握的原子結構理論的基本原理的知識，遠遠不能在理論上從基本概念構造出固體和時鍾。
有一種反對意見認為，自然界中不存在真實的剛體，所以有關剛體的性質不能應用於物理實體。這個意見絕不像人們通過粗略觀察所想象的那麽深刻。因為要精確地確定測量物體的物理狀態，使它對於其他測量物體來說，其性狀足夠清晰並可以代替“剛”體，其實並不困難。而有關這樣的測量物體，其陳述是基於剛體的。
實用幾何學整體是基於一個經驗易懂的原理。現在，我們將試著了解它。假設在一個實際剛體上有兩個標記。我們稱一對這樣的標記為一個區域。我們想象兩個實際剛體，每個上麵都標有一個區域。如果一個區域的標記與另一個區域的永遠一致，那麽我們就說這兩個區域是“互相等價”的。我們現在假設：
如果人們發現兩個區域某時某地是等價的，那麽它們無論何時何地都是等價的。
不僅是歐幾裏得實用幾何學，還有它最直接的推廣——黎曼實用幾何學，以及相關廣義相對論，都以這個假設為基礎。我隻提一個能證明這個假設的實驗。真空中光傳播現象為每一段當地時間設定了一個區域，即光的合適路徑；反之亦然。因此上述的區域假設必定也適用於相對論中的時鍾間隔。結果，可做如下明確表述：如果兩隻理想鍾在任何時間與任何地點都走得一樣快（當時二者是緊挨在一起的），那麽無論何時何地再次把它們放在一起比較，二者永遠都會走得一樣快。如果這個規律對自然時鍾無效，那麽相同化學元素的不同原子具有的固有頻率，就不會像經驗證明的那樣嚴格一致。尖銳譜線的存在，就是上述實用幾何學原理的一個令人信服的實驗證據。最終基於此，我們可以有意義地談及四維時空連續統一體的黎曼度規。
根據這裏主張的觀點，要知道這個連續統一體的結構是歐幾裏得的、黎曼的還是別的什麽，是一個必須用經驗來回答的物理問題，而不是僅依據權宜選擇的約定。考察的時空範圍維度越小，支配實際剛體的規律越接近歐幾裏得幾何學中的定律，黎曼幾何就越有效。
這裏提出的幾何學的物理解釋，確實不能直接應用於分子尺度以下空間。盡管如此，即使在基本粒子構造的問題上，它仍具有一定意義。因為即使是描述電的基本粒子組成問題，仍可以嚐試賦予場概念以物理意義，這些場概念原本是為了描述與分子大小相當的物體的幾何行為所做的物理定義。要求黎曼幾何的基礎概念在它們的物理定義範圍之外仍然具有物理實在的意義，這一要求是否合理，隻能根據其成敗來判斷。也許最後會發現，這種外推，和把溫度概念擴展到分子量級的外推一樣不合理。
把實用幾何學概念外推到宇宙尺度的空間，似乎沒有什麽問題。當然，也會有反對意見，例如由實心杆組成的一種結構，其空間範圍越大，就離理想的剛性越遠。但是我想，這種反駁不會有什麽根本意義。因此對我來說，宇宙空間是否有限這個問題，在實用幾何學上看是一個十分有意義的問題。我甚至認為天文學家有可能不久就能解答這個問題。讓我們回想一下廣義相對論在這方麵的結果吧。它提出了兩種可能： <blockquote>
1. 宇宙是空間無限的。隻有宇宙中集中在恒星上的物質的平均空間密度等於零，這才是可能的。這個條件換句話來說，就是隨著考察的空間越來越大，恒星總質量與它們散布的空間體積之比趨於零。
2. 宇宙是空間有限的。如果宇宙中有重量的物質的平均密度不為零，宇宙空間必然有限。平均密度越小，宇宙體積越大。 </blockquote>
我必須指出，現有的一個理論推導，支持有限宇宙假說。廣義相對論指出，一個物體附近的質量越大，其慣性就越大；因此人們很自然地將物體的總慣性歸結為它和宇宙其他物體的相互作用，正像牛頓時代以來，重力已經完全歸結為物體之間的相互作用一樣。從廣義相對論方程中，人們可以推出，隻有在宇宙是空間有限的時候，才可能像馬赫主張的那樣，把慣性完全歸結為物體之間的相互作用。
許多物理學家和天文學家沒有注意這個論點。在上述分析中，隻有經驗能決定這兩種可能性中的哪一種在自然界中是現實的。經驗如何提供答案呢？首先，我們通過觀察能看到的這部分宇宙，似乎可以確定物質的平均密度。但這一希望是不實際的，因為可見恒星的分布極其不規則，所以我們絕不敢說宇宙中的恒星物質的平均密度等於［比如說］銀河係中的平均密度。在任何情況下，不管觀測的空間有多大，我們都不能確信更遠處沒有更多恒星了。所以，估計平均密度看起來是不可能的。
但是有另一條路，在我看來更可行，盡管也有很大困難。在探究廣義相對論的結論與牛頓理論結論的偏差的經驗證據時，第一個發現的這樣的偏差出現在靠近引力物質的地方，已被水星事件證實。但是如果宇宙是空間有限的，廣義相對論和牛頓理論就會有另一個偏差，用牛頓理論的話就是：引力場不僅是由有重物質產生，而且還由空間中均勻分布的負質量密度產生。因為這個假想的質量密度必須非常小，所以隻有在非常廣大的引力係統中才能觀測到。
假設我們已知銀河係中恒星的統計分布和質量，那麽根據牛頓定律，我們能夠計算出引力場和恒星必須具有多大的平均速度，才能使銀河係維持自身現在的大小而不會因其恒星間的引力而坍縮。因為恒星的真實速度是可測的，如果它小於計算值，我們就證明了遠距離的實際引力比牛頓定律計算出的要小。從這個偏差，我們就可以間接地證明宇宙是有限的，甚至可能估計出它的空間大小。
愛因斯坦任職的普魯士科學院成立於1700年，受到過腓特烈大帝（1712—1786）的慷慨資助。每逢腓特烈大帝生日，科學院都要舉行學術研討會。在1921年1月27日的紀念會上，愛因斯坦做了這一備受讚譽的演講。
在這裏，愛因斯坦做出了明確的區分：數學幾何學和物理幾何學。據愛因斯坦在布拉格的教席的繼承者菲利普·弗蘭克（philipp frank，1884—1966）教授判斷，這一講座“通過其明確的表述將秩序帶入了經常出現混淆的領域，並且在某些情況下甚至在數學家和物理學家中仍占優勢的混淆領域。從那以後，愛因斯坦的表述被認為是最清晰和最好的，即使哲學家也這樣認為”。
與愛因斯坦交往密切的哲學家石裏克（moritz schlick，1882—1936）在1918年出版了《普通認識論》。一年前，石裏克在愛因斯坦的影響下發表了題為《空間與時間》（raum und zeit）的文章。
法國數學家亨利·龐加萊在1911與居裏夫人一起大力推薦愛因斯坦從布拉格回到母校蘇黎世聯邦理工學院擔任理論物理學教授。
本文倒數第二段提到的“已被水星事件所證實”一事，指的是針對1919年3月29日的日全食，英國組織的兩次科學探險，一支到巴西北部，另一支到西非小島普林西比。1952年2月25日的日全食，全世界有多支探險隊帶著精良設備和新的測量方法到蘇丹（喀土穆）來驗證光線的曲率。1916年，愛因斯坦計算出1.75秒弧光偏轉。1919年5月29日，英國探險隊的測量結果為1.64弧秒。1952年，科學家們以1.70秒的弧度接近愛因斯坦的計算值。從那時起，人們一直在測量這一數值。 </blockquote>
與其他所有科學相比，數學受到特別尊重的一個原因，在於它的命題絕對可靠、沒有爭議，而其他所有科學的命題在某種程度上都有爭議，並且隨時可能被新發現的事實推翻。盡管如此，如果數學命題涉及的對象僅存於想象之中，而非實在，那麽其他科學部門的研究者就無須羨慕數學家。當人們已經就基礎性命題（公理）以及由此推出其他命題的方法達成共識時，那麽毫不奇怪，不同的人將得到相同的邏輯結論。但是數學聲望崇高還有另一個原因，是它為精確自然科學提供了一定程度的確定性，離開數學就做不到這一點。
這裏就出現了一個謎，在過去的時間裏一直激發著人類的好奇心。數學歸根到底是獨立於經驗的人類思想的產物，它怎麽會如此精妙地契合現實呢？那麽，不憑經驗僅靠思考的人類理性，能徹底了解真實事物的性質嗎？
以我之見，這個問題的答案簡單來說就是：隻要數學命題涉及實體，它們就是不可靠的；隻要它們是可靠的，就不涉及實體。在我看來，隻有沿著數學中被稱為“公理學”（axiomatik）的方向，人們才能普遍地完全清楚事物的這個狀況。公理學取得的進步，在於巧妙地將邏輯—形式與其客觀或直覺內容分開；根據公理學，邏輯—形式自己就足夠形成數學的主題內容，而後者不涉及直覺或其他有關邏輯—形式的內容。
我們暫時從這個角度思考幾何學的任何一個公理，比如：兩點之間有且僅有一條直線。過去和現在都是怎麽解釋這個公理的呢？
過去的解釋：每人都知道什麽是直線，什麽是點。這個知識的起源是人類思考的能力、經驗、二者的結合，還是其他來源，這不是數學家能決定的，要留給哲學家去解決。上述公理以這種先於所有數學之前的知識作為自己的根據，它像其他所有公理一樣，是不證自明的，就是說，它是先驗知識的一個表達。
現在的解釋：幾何學探討的是用線、點等表示的對象。人們僅僅設定公理的正確性，而不是這些對象相關的知識或直覺。這些公理，比如上述公理，就是一種純粹形式意義上的，即沒有任何直覺或經驗的內容。這些公理是人類智力的自由創造。幾何學中所有其他命題都是從這個公理中邏輯推理出的（僅是唯名論意義上）。公理明確了幾何學探討的對象。所以，石裏克在他關於認識論的書中，十分恰當地將公理描繪為“隱定義”。
現代公理學擁護這種公理觀點，它淨化掉一切和數學無關的因素，消除了以往圍繞數學基礎的神秘和晦澀。但是，這樣的修正闡述也讓人們明顯看到：這樣的數學本身不能做出任何有關我們的直覺對象或實在對象的預測。在公理幾何學中，“點”“直線”等詞語僅僅是空無一物的概念，數學不賦予它們內容。
然而在另一方麵，一般來說，數學，尤其是幾何學的存在，肯定是因為人們需要了解實在對象的行為。幾何學一詞的原意是土地測量，就證明了這一點。因為土地測量與某些自然物體相互間的排列可能性有關，比如說土地、測量線、測量杖等等。很明顯，公理幾何學概念體係自身不能對這種實在對象（以後我們稱之為實際剛體）的行為做出任何陳述。要做到這一點，幾何學必須剝去它的單純邏輯形式特征，把經驗的實在對象與公理幾何學空洞的概念聯係起來。為此，我們隻要增加這個命題：固體間可能的排列關係，就像三維歐幾裏得幾何中的物體一樣。這樣，歐幾裏得的命題就包含了實際剛體行為的陳述。
這樣建立的幾何學顯然是一門自然科學；事實上，我們可以將它看作物理學最古老的分支。它的陳述本質上依賴經驗歸納，而不僅是邏輯推理。我們稱這樣的幾何學為“實用幾何學”，接下來和“純粹公理幾何學”做區分。宇宙的實用幾何學到底是不是歐幾裏得幾何，這一問題有清楚的意義，並且隻能由經驗給出答案。如果一個人利用光沿直線傳播的經驗規律，而且這裏的直線是實用幾何學意義上的，那麽物理中所有長度度量就在這個意義上構成了實用幾何學，測地學和天文學的長度量度就是如此。
我特別強調我剛提出的幾何學觀點，因為沒有它我就不能建立相對論，沒有它我就不可能有下麵的思考：在一個相對某慣性係旋轉的參考係中，由於洛倫茲收縮，支配剛體的規律不符合歐幾裏得幾何；因此，如果我們平等地承認非慣性係，就必須放棄歐幾裏得幾何。沒有上述理解，就不會邁出向廣義協變方程過渡的決定性一步。如果我們擯棄公理學的歐幾裏得幾何對象和現實的實際剛體之間的關係，就很容易得出下麵的觀點，也就是敏銳而深刻的思想者——龐加萊主張的觀點：歐幾裏得幾何之所以勝過所有其他可能的公理幾何，是因為其簡單性。現在，因為公理幾何學本身不包含關於經驗實在的陳述，除非同物理規律結合，所以無論實在的本質如何，保留歐幾裏得幾何的做法都應該是可能與合理的。因為一旦理論和經驗出現矛盾，我們寧可決定改變物理定律，也要保全公理學的歐幾裏得幾何。如果人們拒絕承認真實的剛體與幾何學的關係，就不能輕易放棄那種認為歐幾裏得幾何學是最簡單的習慣看法。
為什麽龐加萊和其他研究者要擯棄（看起來天經地義的）實際剛體和幾何主體的等效性呢？這不過是因為在進一步考察後，發現自然界的真正固體不是剛性的，它們的幾何行為，即相對位置的可能性，取決於溫度、外力等等。這似乎破壞了幾何與物理實體之間原初的直接關係，使我們被迫接受下麵的更普遍的觀點，也就是龐加萊的立場：幾何學（g）對真實事物的行為不能做任何論斷，隻有加上物理規律（p）才能。用符號來表示，我們可以說實驗驗證隻能驗證（g）+（p）的和。因此（g）可以任意選擇，（p）的某些部分也一樣；所有這些規律都是約定。為消除矛盾，必須要做的就是決定（p）裏哪些是不能保留的，這樣（p）的整體和（g）加起來就符合經驗了。用這種方式看，公理幾何學和自然規律已成為約定的部分在認識論意義上是等效的。
在我看來，從永恒的角度看（sub specie aeterni），龐加萊是正確的。相對論中量尺概念和與之協調的時鍾概念，在真實世界中找不到精確的對應物。在物理學的概念體係中，固體和時鍾扮演的角色也明顯不是基本元素，它們有複合的結構，在理論物理中並非獨立。但是我堅信，在理論物理發展的現階段，仍然必須把它們當作獨立概念使用；因為我們掌握的原子結構理論的基本原理的知識，遠遠不能在理論上從基本概念構造出固體和時鍾。
有一種反對意見認為，自然界中不存在真實的剛體，所以有關剛體的性質不能應用於物理實體。這個意見絕不像人們通過粗略觀察所想象的那麽深刻。因為要精確地確定測量物體的物理狀態，使它對於其他測量物體來說，其性狀足夠清晰並可以代替“剛”體，其實並不困難。而有關這樣的測量物體，其陳述是基於剛體的。
實用幾何學整體是基於一個經驗易懂的原理。現在，我們將試著了解它。假設在一個實際剛體上有兩個標記。我們稱一對這樣的標記為一個區域。我們想象兩個實際剛體，每個上麵都標有一個區域。如果一個區域的標記與另一個區域的永遠一致，那麽我們就說這兩個區域是“互相等價”的。我們現在假設：
如果人們發現兩個區域某時某地是等價的，那麽它們無論何時何地都是等價的。
不僅是歐幾裏得實用幾何學，還有它最直接的推廣——黎曼實用幾何學，以及相關廣義相對論，都以這個假設為基礎。我隻提一個能證明這個假設的實驗。真空中光傳播現象為每一段當地時間設定了一個區域，即光的合適路徑；反之亦然。因此上述的區域假設必定也適用於相對論中的時鍾間隔。結果，可做如下明確表述：如果兩隻理想鍾在任何時間與任何地點都走得一樣快（當時二者是緊挨在一起的），那麽無論何時何地再次把它們放在一起比較，二者永遠都會走得一樣快。如果這個規律對自然時鍾無效，那麽相同化學元素的不同原子具有的固有頻率，就不會像經驗證明的那樣嚴格一致。尖銳譜線的存在，就是上述實用幾何學原理的一個令人信服的實驗證據。最終基於此，我們可以有意義地談及四維時空連續統一體的黎曼度規。
根據這裏主張的觀點，要知道這個連續統一體的結構是歐幾裏得的、黎曼的還是別的什麽，是一個必須用經驗來回答的物理問題，而不是僅依據權宜選擇的約定。考察的時空範圍維度越小，支配實際剛體的規律越接近歐幾裏得幾何學中的定律，黎曼幾何就越有效。
這裏提出的幾何學的物理解釋，確實不能直接應用於分子尺度以下空間。盡管如此，即使在基本粒子構造的問題上，它仍具有一定意義。因為即使是描述電的基本粒子組成問題，仍可以嚐試賦予場概念以物理意義，這些場概念原本是為了描述與分子大小相當的物體的幾何行為所做的物理定義。要求黎曼幾何的基礎概念在它們的物理定義範圍之外仍然具有物理實在的意義，這一要求是否合理，隻能根據其成敗來判斷。也許最後會發現，這種外推，和把溫度概念擴展到分子量級的外推一樣不合理。
把實用幾何學概念外推到宇宙尺度的空間，似乎沒有什麽問題。當然，也會有反對意見，例如由實心杆組成的一種結構，其空間範圍越大，就離理想的剛性越遠。但是我想，這種反駁不會有什麽根本意義。因此對我來說，宇宙空間是否有限這個問題，在實用幾何學上看是一個十分有意義的問題。我甚至認為天文學家有可能不久就能解答這個問題。讓我們回想一下廣義相對論在這方麵的結果吧。它提出了兩種可能： <blockquote>
1. 宇宙是空間無限的。隻有宇宙中集中在恒星上的物質的平均空間密度等於零，這才是可能的。這個條件換句話來說，就是隨著考察的空間越來越大，恒星總質量與它們散布的空間體積之比趨於零。
2. 宇宙是空間有限的。如果宇宙中有重量的物質的平均密度不為零，宇宙空間必然有限。平均密度越小，宇宙體積越大。 </blockquote>
我必須指出，現有的一個理論推導，支持有限宇宙假說。廣義相對論指出，一個物體附近的質量越大，其慣性就越大；因此人們很自然地將物體的總慣性歸結為它和宇宙其他物體的相互作用，正像牛頓時代以來，重力已經完全歸結為物體之間的相互作用一樣。從廣義相對論方程中，人們可以推出，隻有在宇宙是空間有限的時候，才可能像馬赫主張的那樣，把慣性完全歸結為物體之間的相互作用。
許多物理學家和天文學家沒有注意這個論點。在上述分析中，隻有經驗能決定這兩種可能性中的哪一種在自然界中是現實的。經驗如何提供答案呢？首先，我們通過觀察能看到的這部分宇宙，似乎可以確定物質的平均密度。但這一希望是不實際的，因為可見恒星的分布極其不規則，所以我們絕不敢說宇宙中的恒星物質的平均密度等於［比如說］銀河係中的平均密度。在任何情況下，不管觀測的空間有多大，我們都不能確信更遠處沒有更多恒星了。所以，估計平均密度看起來是不可能的。
但是有另一條路，在我看來更可行，盡管也有很大困難。在探究廣義相對論的結論與牛頓理論結論的偏差的經驗證據時，第一個發現的這樣的偏差出現在靠近引力物質的地方，已被水星事件證實。但是如果宇宙是空間有限的，廣義相對論和牛頓理論就會有另一個偏差，用牛頓理論的話就是：引力場不僅是由有重物質產生，而且還由空間中均勻分布的負質量密度產生。因為這個假想的質量密度必須非常小，所以隻有在非常廣大的引力係統中才能觀測到。
假設我們已知銀河係中恒星的統計分布和質量，那麽根據牛頓定律，我們能夠計算出引力場和恒星必須具有多大的平均速度，才能使銀河係維持自身現在的大小而不會因其恒星間的引力而坍縮。因為恒星的真實速度是可測的，如果它小於計算值，我們就證明了遠距離的實際引力比牛頓定律計算出的要小。從這個偏差，我們就可以間接地證明宇宙是有限的，甚至可能估計出它的空間大小。