屋子裏，徐雲正在侃侃而談：
“艾薩克先生，韓立爵士計算發現，二項式定理中指數為分數時，可以用e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……來計算。”
說著徐雲拿起筆，在紙上寫下了一行字：
當n=0時，e^x＞1。
“艾薩克先生，這裏是從x^0開始的，用0作為起點討論比較方便，您可以理解吧？”
小牛點了點頭，示意自己明白。
隨後徐雲繼續寫道：
假設當n=k時結論成立，即e^x＞1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!（x＞0）
則e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!]＞0
那麽當n=k+1時，令函數f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!（x＞0）
接著徐雲在f(k+1)上畫了個圈，問道：
“艾薩克先生，您對導數有了解麽？”
小牛繼續點了點頭，言簡意賅的蹦出兩個字：
“了解。”
學過數學的朋友應該都知道。
導數和積分是微積分最重要的組成部分，而導數又是微分積分的基礎。
眼下已經時值1665年末，小牛對於導數的認知其實已經到了一個比較深奧的地步了。
在求導方麵，小牛的介入點是瞬時速度。
速度=路程x時間，這是小學生都知道的公式，但瞬時速度怎麽辦?
比如說知道路程s=t^2，那麽t=2的時候，瞬時速度v是多少呢?
數學家的思維，就是將沒學過的問題轉化成學過的問題。
於是牛頓想了一個很聰明的辦法：
取一個”很短”的時間段△t ，先算算t= 2到t=2+△t 這個時間段內，平均速度是多少。
v=s/t=（4△t+△t^2）/△t=4+△t。
當△t 越來越小，2+△t就越來越接近2 ，時間段就越來越窄。
△t 越來越接近0時，那麽平均速度就越來越接近瞬時速度。
如果△t小到了0 ，平均速度4+△t就變成了瞬時速度4。
當然了。
後來貝克萊發現了這個方法的一些邏輯問題，也就是△t到底是不是0。
如果是0，那麽計算速度的時候怎麽能用△t做分母呢？鮮為人...咳咳，小學生也知道0不能做除數。
到如果不是0，4+△t就永遠變不成4，平均速度永遠變不成瞬時速度。
按照現代微積分的觀念，貝克萊是在質疑lim△t→0是否等價於△t=0。
這個問題的本質實際上是在對初生微積分的一種拷問，用“無限細分”這種運動、模糊的詞語來定義精準的數學，真的合適嗎？
貝克萊由此引發的一係列討論，便是赫赫有名的第二次數學危機。
甚至有些悲觀黨宣稱數理大廈要坍塌了，我們的世界都是虛假的——然後這些貨真的就跳樓了，在奧地利還留有他們的遺像，也不知道是用來被人瞻仰還是鞭屍的。
這件事一直到要柯西和魏爾斯特拉斯兩人的出現，才會徹底有了解釋與定論，並且真正定義了後世很多同學掛的那棵樹。
但那是後來的事情，在小牛的這個年代，新生數學的實用性是放在首位的，因此嚴格化就相對被忽略了。
這個時代的很多人都是一邊利用數學工具做研究，一邊用得出來的結果對工具進行改良優化。
偶爾還會出現一些倒黴蛋算著算著，忽然發現自己這輩子的研究其實錯了的情況。
總而言之。
在如今這個時間點，小牛對於求導還是比較熟悉的，隻不過還沒有歸納出係統的理論而已。
徐雲見狀又寫到：
對f(k+1)求導，可得f(k+1)''=e^x-1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!
由假設知f(k+1)''＞0
那麽當x=0時。
f(k+1)=e^0-1-0/1!-0/2!-.-0/k+1!=1-1=0
所以當x＞0時。
因為導數大於0，所以f(x)＞f(0)=0
所以當n=k+1時f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!（x＞0）成立！
最後徐雲寫到：
綜上所屬，對任意的n有：
e^x＞1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!（x＞0）
論述完畢，徐雲放下鋼筆，看向小牛。
隻見此時此刻。
這位後世物理學的祖師爺正瞪大著那一雙牛眼，死死地盯著麵前的這張草稿紙。
誠然。
以目前小牛的研究進度，還不太好理解切線與麵積的真正內在含義。
但了解數學的人都知道，廣義二項式定理其實就是複變函數的泰勒級數的特殊情形。
這個級數與二項式定理是兼容的，係數符號也是與組合符號兼容的。
所以二項式定理可以由自然數冪擴充至複數冪，組合定義也可以由自然數擴充至複數。
隻不過徐雲在這裏留了一手，沒有告知小牛n為負數的時候就是無窮級數這件事。
因為按照正常的曆史線，無窮小量可是出自小牛之手，推導的過程還是交給他本人就好了。
就這樣過了幾分鍾，小牛方才回過神。
隻見他直接無視了身邊的徐雲，一個身位竄回座位，飛快的開始演算了起來。
看著全身心投入計算的小牛，徐雲也不生氣，畢竟這位祖師爺就是這種脾氣，可能也就在威廉·艾斯庫的麵前會相對好點了。
沙沙沙——
很快。
筆尖與稿紙接觸的聲音響起，一道道公式被飛快列出。
徐雲見狀思索片刻，轉世離開了屋子。
隨意在牆角找了個位置，抬頭看起了雲卷雲舒。
就這樣，兩個小時一轉而過。
就在徐雲盤算著自己下一步該如何落子的時候，木屋門忽然被人從中推開，小牛一臉激動的從內中竄了出來。
隻見他的眼中布滿了血絲，用力的朝徐雲揮了揮手中的稿紙：
“肥魚，負數、我推出了負數！一切都搞清楚了！
二項式指數不用去管它是正數還是負數，是整數還是分數，組合數對所有條件都成立！
楊輝三角，對，下一步就是研究楊輝三角！”
也不知道是不是太過激動的緣故，小牛壓根沒注意到，自己的假發都被震落到了地上。
看著滿臉紅光的小牛，徐雲心中也不由浮現出了一絲改變曆史的振奮感。
按照正常軌跡。
小牛要等到明年一月份收到一封約翰·提斯裏波蒂的信件後，才會開竅般的攻克一係列的疑點難點。
而約翰斯裏波蒂的那封信件中，提及的正是帕斯卡公開的三角圖形。
也就是說......
這個時空數學史的節點，第一次被改變了！
有了二項式開展的初步成果，小牛必然要不了多久時間，便會在楊輝三角的協助下構築出初步的流數術模型。
由此一來。
楊輝三角這個名字，也將會被鐫刻在數學王座的基底之上，那個本就該屬於它的位置！
縱使今後數百年世事變遷，滄海桑田，依舊無人能夠撼動！
華夏先賢之光，在這條時間線裏將永不蒙塵！
想到這兒，徐雲不由深吸一口氣，快步走上前：
“恭喜您了，艾薩克先生。”
看著麵前東方麵孔的徐雲，小牛的臉上也**了一股感慨。
那位未曾謀麵的韓立爵士，僅僅是留下的幾處隨筆就能為自己撥雲見日，僅假借肥魚這個不知相隔多少代的弟子之手，便能為自己推開一扇大門。
那麽韓立爵士本人的學識又能達到什麽樣的高度呢？
能想出這種展開式的天才，稱得上一句數學鬼才絕不為過吧？
原本自己以為笛卡爾先生已經天下無敵了，沒想到居然還有人比他更為勇猛！
看來自己的數理之路，依舊任重道遠啊......
......
注：
為啥出圈指數是負的.....
“艾薩克先生，韓立爵士計算發現，二項式定理中指數為分數時，可以用e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……來計算。”
說著徐雲拿起筆，在紙上寫下了一行字：
當n=0時，e^x＞1。
“艾薩克先生，這裏是從x^0開始的，用0作為起點討論比較方便，您可以理解吧？”
小牛點了點頭，示意自己明白。
隨後徐雲繼續寫道：
假設當n=k時結論成立，即e^x＞1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!（x＞0）
則e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!]＞0
那麽當n=k+1時，令函數f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!（x＞0）
接著徐雲在f(k+1)上畫了個圈，問道：
“艾薩克先生，您對導數有了解麽？”
小牛繼續點了點頭，言簡意賅的蹦出兩個字：
“了解。”
學過數學的朋友應該都知道。
導數和積分是微積分最重要的組成部分，而導數又是微分積分的基礎。
眼下已經時值1665年末，小牛對於導數的認知其實已經到了一個比較深奧的地步了。
在求導方麵，小牛的介入點是瞬時速度。
速度=路程x時間，這是小學生都知道的公式，但瞬時速度怎麽辦?
比如說知道路程s=t^2，那麽t=2的時候，瞬時速度v是多少呢?
數學家的思維，就是將沒學過的問題轉化成學過的問題。
於是牛頓想了一個很聰明的辦法：
取一個”很短”的時間段△t ，先算算t= 2到t=2+△t 這個時間段內，平均速度是多少。
v=s/t=（4△t+△t^2）/△t=4+△t。
當△t 越來越小，2+△t就越來越接近2 ，時間段就越來越窄。
△t 越來越接近0時，那麽平均速度就越來越接近瞬時速度。
如果△t小到了0 ，平均速度4+△t就變成了瞬時速度4。
當然了。
後來貝克萊發現了這個方法的一些邏輯問題，也就是△t到底是不是0。
如果是0，那麽計算速度的時候怎麽能用△t做分母呢？鮮為人...咳咳，小學生也知道0不能做除數。
到如果不是0，4+△t就永遠變不成4，平均速度永遠變不成瞬時速度。
按照現代微積分的觀念，貝克萊是在質疑lim△t→0是否等價於△t=0。
這個問題的本質實際上是在對初生微積分的一種拷問，用“無限細分”這種運動、模糊的詞語來定義精準的數學，真的合適嗎？
貝克萊由此引發的一係列討論，便是赫赫有名的第二次數學危機。
甚至有些悲觀黨宣稱數理大廈要坍塌了，我們的世界都是虛假的——然後這些貨真的就跳樓了，在奧地利還留有他們的遺像，也不知道是用來被人瞻仰還是鞭屍的。
這件事一直到要柯西和魏爾斯特拉斯兩人的出現，才會徹底有了解釋與定論，並且真正定義了後世很多同學掛的那棵樹。
但那是後來的事情，在小牛的這個年代，新生數學的實用性是放在首位的，因此嚴格化就相對被忽略了。
這個時代的很多人都是一邊利用數學工具做研究，一邊用得出來的結果對工具進行改良優化。
偶爾還會出現一些倒黴蛋算著算著，忽然發現自己這輩子的研究其實錯了的情況。
總而言之。
在如今這個時間點，小牛對於求導還是比較熟悉的，隻不過還沒有歸納出係統的理論而已。
徐雲見狀又寫到：
對f(k+1)求導，可得f(k+1)''=e^x-1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!
由假設知f(k+1)''＞0
那麽當x=0時。
f(k+1)=e^0-1-0/1!-0/2!-.-0/k+1!=1-1=0
所以當x＞0時。
因為導數大於0，所以f(x)＞f(0)=0
所以當n=k+1時f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!（x＞0）成立！
最後徐雲寫到：
綜上所屬，對任意的n有：
e^x＞1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!（x＞0）
論述完畢，徐雲放下鋼筆，看向小牛。
隻見此時此刻。
這位後世物理學的祖師爺正瞪大著那一雙牛眼，死死地盯著麵前的這張草稿紙。
誠然。
以目前小牛的研究進度，還不太好理解切線與麵積的真正內在含義。
但了解數學的人都知道，廣義二項式定理其實就是複變函數的泰勒級數的特殊情形。
這個級數與二項式定理是兼容的，係數符號也是與組合符號兼容的。
所以二項式定理可以由自然數冪擴充至複數冪，組合定義也可以由自然數擴充至複數。
隻不過徐雲在這裏留了一手，沒有告知小牛n為負數的時候就是無窮級數這件事。
因為按照正常的曆史線，無窮小量可是出自小牛之手，推導的過程還是交給他本人就好了。
就這樣過了幾分鍾，小牛方才回過神。
隻見他直接無視了身邊的徐雲，一個身位竄回座位，飛快的開始演算了起來。
看著全身心投入計算的小牛，徐雲也不生氣，畢竟這位祖師爺就是這種脾氣，可能也就在威廉·艾斯庫的麵前會相對好點了。
沙沙沙——
很快。
筆尖與稿紙接觸的聲音響起，一道道公式被飛快列出。
徐雲見狀思索片刻，轉世離開了屋子。
隨意在牆角找了個位置，抬頭看起了雲卷雲舒。
就這樣，兩個小時一轉而過。
就在徐雲盤算著自己下一步該如何落子的時候，木屋門忽然被人從中推開，小牛一臉激動的從內中竄了出來。
隻見他的眼中布滿了血絲，用力的朝徐雲揮了揮手中的稿紙：
“肥魚，負數、我推出了負數！一切都搞清楚了！
二項式指數不用去管它是正數還是負數，是整數還是分數，組合數對所有條件都成立！
楊輝三角，對，下一步就是研究楊輝三角！”
也不知道是不是太過激動的緣故，小牛壓根沒注意到，自己的假發都被震落到了地上。
看著滿臉紅光的小牛，徐雲心中也不由浮現出了一絲改變曆史的振奮感。
按照正常軌跡。
小牛要等到明年一月份收到一封約翰·提斯裏波蒂的信件後，才會開竅般的攻克一係列的疑點難點。
而約翰斯裏波蒂的那封信件中，提及的正是帕斯卡公開的三角圖形。
也就是說......
這個時空數學史的節點，第一次被改變了！
有了二項式開展的初步成果，小牛必然要不了多久時間，便會在楊輝三角的協助下構築出初步的流數術模型。
由此一來。
楊輝三角這個名字，也將會被鐫刻在數學王座的基底之上，那個本就該屬於它的位置！
縱使今後數百年世事變遷，滄海桑田，依舊無人能夠撼動！
華夏先賢之光，在這條時間線裏將永不蒙塵！
想到這兒，徐雲不由深吸一口氣，快步走上前：
“恭喜您了，艾薩克先生。”
看著麵前東方麵孔的徐雲，小牛的臉上也**了一股感慨。
那位未曾謀麵的韓立爵士，僅僅是留下的幾處隨筆就能為自己撥雲見日，僅假借肥魚這個不知相隔多少代的弟子之手，便能為自己推開一扇大門。
那麽韓立爵士本人的學識又能達到什麽樣的高度呢？
能想出這種展開式的天才，稱得上一句數學鬼才絕不為過吧？
原本自己以為笛卡爾先生已經天下無敵了，沒想到居然還有人比他更為勇猛！
看來自己的數理之路，依舊任重道遠啊......
......
注：
為啥出圈指數是負的.....