350章
另一邊，華國。
經過一夜的思考，困惑程諾終於對自己的畢業論文有了新的思路。
關於兩個引理的運用，程諾有他自己獨到的見解。
所以，這天白天的課一結束，程諾便匆匆趕到圖書館，隨便挑了一個沒人的位置，拿出紙筆，驗證自己的想法。
既然將兩個引理強加進bertrand假設的證明過程中這個方向行不通，那程諾想的是，能否根據這兩個引理，得出幾個推論，然後再應用到bertrand假設中。
這樣的話，雖然拐了個彎，看似比切比雪夫的方法還要麻煩不少。但在真正的結果出來之前，誰也不敢百分百就這樣說。
程諾覺得還是應該嚐試一下。
工具早已備好，他沉吟了一陣，開始在草稿紙上做各種嚐試。
他有不是上帝，並不能很明確的知曉通過引理得出來的推論究竟哪個有用，哪個沒用。最穩妥的方法，就是一一嚐試。
反正時間足夠，程諾並不著急。
唰唰唰~~
低著頭，他列下一行行算式。
【設m為滿足pm≤2n的最大自然數，則顯然對於i>m，floor(2n/pi)-2floor(n/pi)=0-0=0，求和止於i=m，共計m項。由於floor(2x)-2floor(x)≤1，因此這m項中的每一項不是0就是1……】
由上，得推論1：【設n為一自然數，p為一素數，則能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高冪次為：s=Σi≥1[floor(2n/pi)-2floor(n/pi)]。】
【因為n≥3及2n/3<p≤n表明p2>2n，求和隻有i=1一項，即：s=floor(2n/p)-2floor(n/p)。由於2n/3<p≤n還表明1≤n/p<3/2，因此s=floor(2n/p)-2floor(n/p)=2-2=0。】
由此，得推論2：【設n≥3為一自然數，p為一素數，s為能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高冪次，則：(a)ps≤2n；(b)若p>√2n，則s≤1；(c)若2n/3<p≤n，則s=0。】
一行行，一列列。
除了上課，程諾一整天都泡在圖書館裏。
等到晚上十點閉館的時候，程諾才背著書包依依不舍的離開。
而在他手中拿著的草稿紙上，已經密密麻麻的列著十幾個推論。
這是他勞動一天的成果。
明天程諾的工作，就是從這十幾個推論中，尋找出對bertrand假設證明工作有用的推論。
…………
一夜無話。
翌日，又是陽光明媚，春暖花開的一天。
日期是三月初，方教授給程諾的一個月假期還剩十多天的時間。
程諾又足夠的時間去浪……哦，不，是去完善他的畢業論文。
論文的進度按照程諾規劃的方案進行，這一天，他從推導出的十幾個推論中尋找出證明bertrand假設有重要作用的五個推論。
結束了這忙碌的一天，第二天，程諾便馬不停蹄的開始正式bertrand假設的證明。
這可不是個輕鬆的工作。
程諾沒有多大把握能一天的時間搞定。
可一句古話說的好，一鼓作氣，再而衰，三而竭。如今勢頭正足，最好一天拿下。
這個時候，程諾不得不再次準備開啟修仙大法。
而修仙神器，“腎寶”，程諾也早已準備完畢。
肝吧，少年！
程諾右手碳素筆，左手腎寶，開始攻克最後一道難關。
切爾雪夫在證明bertrand假設時，采取的方案是直接進行已知定理進行硬性推導，絲毫沒有任何技巧性可言。
程諾當然不能這麽做。
對於bertrand假設，他準備使用反證法。
這是除了直接推導證明法之外最常用的證明方法，麵對許多猜想時非常重要。
尤其是……在證明某個猜想不成立時！
但程諾現在當時不是要尋找反例，證明bertrand假設不成立。
切爾雪夫已然證明這一假設的成立，使用反證法，無非是將證明步驟進行簡化。
程諾自信滿滿。
第一步，用反證法，假設命題不成立，即存在某個n≥2，在n與2n之間沒有素數。
第二步，將(2n)!/(n!n!)的分解(2n)!/(n!n!)=Πps(p)(s(p)為質因子p的冪次。
第三步，由推論5知p<2n，由反證法假設知p≤n，再由推論3知p≤2n/3，因此(2n)!/(n!n!)=Πp≤2n/3ps(p)。
………………
第七步，利用推論8可得：(2n)!/(n!n!)≤Πp≤√2nps(p)·Π√2n<p≤2n/3p≤Πp≤√2nps(p)·Πp≤2n/3p！
思路暢通，程諾一路寫下來，不見任何阻力，一個小時左右便完成一半多的證明步驟。
連程諾本人，都驚訝了好一陣。
原來我現在，不知不覺間已經這麽厲害了啊！！！
程諾叉腰得意一會兒。
隨後，便是低頭繼續苦逼的列著證明公式。
第八步，由於乘積中的第一組的被乘因子數目為√2n以內的素數數目，即不多於√2n/2-1(因偶數及1不是素數)……由此得到：(2n)!/(n!n!)<(2n)√2n/2-1·42n/3。
第九步，(2n)!/(n!n!)是(1+1)2n展開式中最大的一項，而該展開式共有2n項(我們將首末兩項1合並為2)，因此(2n)!/(n!n!)≥22n/2n=4n/2n。兩端取對數並進一步化簡可得：√2nln4<3ln(2n)。
下麵，就是最後一步。
由於冪函數√2n隨n的增長速度遠快於對數函數ln(2n)，因此上式對於足夠大的n顯然不可能成立。
至此，可說明，bertrand假設成立。
論文的草稿部分，算是正式完工。
而且完工的時間，比程諾預想的要早了整整一半時間。
這樣的話，還能趁熱的將畢業論文的文檔版給搞出來。
搞！搞！搞！
啪啪啪~~
程諾手指敲擊著鍵盤，四個多小時後，畢業論文正式完稿。
程諾又隨手做了一份ppt，畢業答辯時會用到。
至於答辯的腹稿，程諾並沒有準備這個東西。
反正到時候兵來將擋，水來土掩就是。
要是以哥的水平，連一個畢業答辯都過不了，那還不如直接找塊豆腐撞死算了。
哦，對了，還有一件事。
程諾一拍腦袋，仿佛記起了什麽。
在網上搜索一陣，程諾將論文轉換為英文的pdf格式，打包投給了位於德古國的一家學術期刊：《數學通訊符號》。
sci期刊之一，位列一區。
影響因子5.21，即便在一區的諸多著名學術雜誌中，都屬於中等偏上的水平。
……………………
ps：《愛情公寓》，哎~~
另一邊，華國。
經過一夜的思考，困惑程諾終於對自己的畢業論文有了新的思路。
關於兩個引理的運用，程諾有他自己獨到的見解。
所以，這天白天的課一結束，程諾便匆匆趕到圖書館，隨便挑了一個沒人的位置，拿出紙筆，驗證自己的想法。
既然將兩個引理強加進bertrand假設的證明過程中這個方向行不通，那程諾想的是，能否根據這兩個引理，得出幾個推論，然後再應用到bertrand假設中。
這樣的話，雖然拐了個彎，看似比切比雪夫的方法還要麻煩不少。但在真正的結果出來之前，誰也不敢百分百就這樣說。
程諾覺得還是應該嚐試一下。
工具早已備好，他沉吟了一陣，開始在草稿紙上做各種嚐試。
他有不是上帝，並不能很明確的知曉通過引理得出來的推論究竟哪個有用，哪個沒用。最穩妥的方法，就是一一嚐試。
反正時間足夠，程諾並不著急。
唰唰唰~~
低著頭，他列下一行行算式。
【設m為滿足pm≤2n的最大自然數，則顯然對於i>m，floor(2n/pi)-2floor(n/pi)=0-0=0，求和止於i=m，共計m項。由於floor(2x)-2floor(x)≤1，因此這m項中的每一項不是0就是1……】
由上，得推論1：【設n為一自然數，p為一素數，則能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高冪次為：s=Σi≥1[floor(2n/pi)-2floor(n/pi)]。】
【因為n≥3及2n/3<p≤n表明p2>2n，求和隻有i=1一項，即：s=floor(2n/p)-2floor(n/p)。由於2n/3<p≤n還表明1≤n/p<3/2，因此s=floor(2n/p)-2floor(n/p)=2-2=0。】
由此，得推論2：【設n≥3為一自然數，p為一素數，s為能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高冪次，則：(a)ps≤2n；(b)若p>√2n，則s≤1；(c)若2n/3<p≤n，則s=0。】
一行行，一列列。
除了上課，程諾一整天都泡在圖書館裏。
等到晚上十點閉館的時候，程諾才背著書包依依不舍的離開。
而在他手中拿著的草稿紙上，已經密密麻麻的列著十幾個推論。
這是他勞動一天的成果。
明天程諾的工作，就是從這十幾個推論中，尋找出對bertrand假設證明工作有用的推論。
…………
一夜無話。
翌日，又是陽光明媚，春暖花開的一天。
日期是三月初，方教授給程諾的一個月假期還剩十多天的時間。
程諾又足夠的時間去浪……哦，不，是去完善他的畢業論文。
論文的進度按照程諾規劃的方案進行，這一天，他從推導出的十幾個推論中尋找出證明bertrand假設有重要作用的五個推論。
結束了這忙碌的一天，第二天，程諾便馬不停蹄的開始正式bertrand假設的證明。
這可不是個輕鬆的工作。
程諾沒有多大把握能一天的時間搞定。
可一句古話說的好，一鼓作氣，再而衰，三而竭。如今勢頭正足，最好一天拿下。
這個時候，程諾不得不再次準備開啟修仙大法。
而修仙神器，“腎寶”，程諾也早已準備完畢。
肝吧，少年！
程諾右手碳素筆，左手腎寶，開始攻克最後一道難關。
切爾雪夫在證明bertrand假設時，采取的方案是直接進行已知定理進行硬性推導，絲毫沒有任何技巧性可言。
程諾當然不能這麽做。
對於bertrand假設，他準備使用反證法。
這是除了直接推導證明法之外最常用的證明方法，麵對許多猜想時非常重要。
尤其是……在證明某個猜想不成立時！
但程諾現在當時不是要尋找反例，證明bertrand假設不成立。
切爾雪夫已然證明這一假設的成立，使用反證法，無非是將證明步驟進行簡化。
程諾自信滿滿。
第一步，用反證法，假設命題不成立，即存在某個n≥2，在n與2n之間沒有素數。
第二步，將(2n)!/(n!n!)的分解(2n)!/(n!n!)=Πps(p)(s(p)為質因子p的冪次。
第三步，由推論5知p<2n，由反證法假設知p≤n，再由推論3知p≤2n/3，因此(2n)!/(n!n!)=Πp≤2n/3ps(p)。
………………
第七步，利用推論8可得：(2n)!/(n!n!)≤Πp≤√2nps(p)·Π√2n<p≤2n/3p≤Πp≤√2nps(p)·Πp≤2n/3p！
思路暢通，程諾一路寫下來，不見任何阻力，一個小時左右便完成一半多的證明步驟。
連程諾本人，都驚訝了好一陣。
原來我現在，不知不覺間已經這麽厲害了啊！！！
程諾叉腰得意一會兒。
隨後，便是低頭繼續苦逼的列著證明公式。
第八步，由於乘積中的第一組的被乘因子數目為√2n以內的素數數目，即不多於√2n/2-1(因偶數及1不是素數)……由此得到：(2n)!/(n!n!)<(2n)√2n/2-1·42n/3。
第九步，(2n)!/(n!n!)是(1+1)2n展開式中最大的一項，而該展開式共有2n項(我們將首末兩項1合並為2)，因此(2n)!/(n!n!)≥22n/2n=4n/2n。兩端取對數並進一步化簡可得：√2nln4<3ln(2n)。
下麵，就是最後一步。
由於冪函數√2n隨n的增長速度遠快於對數函數ln(2n)，因此上式對於足夠大的n顯然不可能成立。
至此，可說明，bertrand假設成立。
論文的草稿部分，算是正式完工。
而且完工的時間，比程諾預想的要早了整整一半時間。
這樣的話，還能趁熱的將畢業論文的文檔版給搞出來。
搞！搞！搞！
啪啪啪~~
程諾手指敲擊著鍵盤，四個多小時後，畢業論文正式完稿。
程諾又隨手做了一份ppt，畢業答辯時會用到。
至於答辯的腹稿，程諾並沒有準備這個東西。
反正到時候兵來將擋，水來土掩就是。
要是以哥的水平，連一個畢業答辯都過不了，那還不如直接找塊豆腐撞死算了。
哦，對了，還有一件事。
程諾一拍腦袋，仿佛記起了什麽。
在網上搜索一陣，程諾將論文轉換為英文的pdf格式，打包投給了位於德古國的一家學術期刊：《數學通訊符號》。
sci期刊之一，位列一區。
影響因子5.21，即便在一區的諸多著名學術雜誌中，都屬於中等偏上的水平。
……………………
ps：《愛情公寓》，哎~~