雲澤省的數學競賽隊伍在老孟的帶領下開始返航。
路上遇到了一群來自其他省的選手們。
“嗚嗚嗚，郭老師，我不配去清北……”
“老郭你說得對，我隻配上江城這種二流的垃圾學校，我回去就改誌願。”
……
這似曾相識的對話。
怎麽說好呢？
隻能說，博蘇克-烏拉姆定理表明，任何一個、嗯，任何一個從n維球麵到歐幾裏得n維空間的連續函數，都一定把某一對對蹠點映射到同一個點……
這個映射定理應用到人生也是一樣的啊！
伊誠在內心發出一聲感歎。
換句話說，幸福的人生各有各的幸福。
不幸的人生總是相似。
……
回到酒店之後，孟老師根據選手們的回憶，記錄題目，並且為大家進行複盤。
……
第二天，二試開始。
從8點半到12點半。
時間依舊是4個半小時。
每題依然是21分。
考場內紙筆沙沙作響。
就像是下雨一樣。
隻不過這種潤物細無聲式的安靜，比真實的戰場更加可怕。
在伊誠這個考場內，40個頂尖的大腦進入了心流模式。
第一題送分題：
證明：當素數a大於等於7時，a^4-1能被240整除。
題目非常簡單。
是個參加奧數比賽的學生都會。
一般情況下都會照顧選手們的自尊，所以題目不會出得太難。
這題確實是送分題。
整除相關的數論理論就那麽多。
伊誠隻瞟了一眼就知道這題該用費馬小定理。
其他人不可能不知道。
伊誠不指望靠它拉分，隻希望後麵兩道題能難一些。
最起碼不要低於昨天切蛋糕的水準。
費馬這個人舉世聞名，因為他在讀丟番圖這本書的時候，在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這裏空白的地方太小，寫不下。”
這就是非常有名的費馬大定理，從1637年開始，一直到1986年才由英國數學家安德魯·懷爾斯完成了最後的證明。
也因為費馬皮了那麽一下，之後出版的數學書後麵都會留出一頁空白，防止別人有借口說寫不下。
費馬是一個改變了數學史和數學教材製作的人。
但是，很多人其實不怎麽熟悉費馬小定理。
或者說不是從事數學專業的人很少聽說過費馬小定理。
這個東西是跟歐拉定理、中國的孫子定理和威爾遜定理一起並成為數論四大定理的可怕存在。
所以，費馬小定理講述了一個什麽事情呢？
它說：
如果p是一個質數，而整數a不是p的倍數，則有a^（p-1）≡1（modp）
……
那麽這題的證明就非常簡單了。
伊誠不假思索，提筆寫到——
證：
素數a大於等於7，a是奇數。
又a^4-1=（a-1）（a+1）（a^2+1）
且……
通過費馬小定理有：
（3，a）=1
（5，a）=1
所以……
最後得證：
240|(a^4-1)
……
花了10分鍾的時間，伊誠證明完第一題，開始攻略第二題。
這題有兩問：
【假設你生活在13世紀的羅馬，你手上有10個整數克重的砝碼和一個天平。
現在國王要你讓測量出他身上的一件東西。
這件物品的重量在1到88克之間。
1、你是否能做到？甚至少了任何一個砝碼也能做到這一點？
2、加入砝碼數量增加到12個，其中可以有相同重量的砝碼，用天平量出國王給你的一件物品。
這件物品在1-59克之間。
你是否能做到，甚至少了任何兩個砝碼也能做到這一點？】
伊誠看完了題目，心中至少有4種不同的證明方式。
但是這題有點奇怪的地方在於——
它規定了時代背景。
你生活在13世紀，並且是歐洲。
這個時期的歐洲數學還比較落後，它剛從衰落階段開始複蘇。
所以伊誠能用來證明題目的方法，也隻能是這個時期以前的。
他先嚐試對題目進行拆解——
取n個砝碼，記第i個砝碼的重量為fi
對於重量為w的物體，可以用n個砝碼測出它的重量。
當n=1時，f3=f2+f1=2
於是，f3-1=1，w=1時，顯然可以測出。
然後再討論n和n+1時的情況……
通過歸納假設……
可以得到第1問的證明。
在這裏，通過多次枚舉之後，伊誠發現了一些規律——
真是美麗的數字關係。
如此美麗的數字關係，隻有一種東西可以解釋：
斐波那契數列。
斐波那契是13世紀初的數學家，運用它的理論不會違背這個時代背景的原則。
所以，當發現規律為斐波那契數列之後，對於第2問就簡單得多了。
伊誠提筆寫到——
構造廣義斐波那契數列：
g(n)=g(n-1)+g(n-3)(n大於等於4）。
g(1)=g(2)=g(3)=1.
用歸納假設，可以說明對於這樣的n個砝碼，即使任意去掉其中的兩個，仍然能稱出重量1到g（n+1）-1的物體。
而g（13）=60.
所以第二問得證。
可以找到滿足題意的12個砝碼稱量1-59範圍內的物體。
答完題。
伊誠閉上眼睛，細細地品味著。
不得不說出題人真的很棒。
至少他讓人在這道題目中領略了什麽是數學之美。
不單單是因為斐波那契數列是黃金分割，本身就具有藝術美感。
更關鍵的是，這題反應了從探索到猜想，再到證明的數學之美。
嘖嘖。
伊誠砸吧著嘴唇，在陶醉了一番後，繼續攻克最後一道大題。
現在時間才過去了三分之一。
最後一題是一道證明題：
設s為r^3中的拋物麵z=（x^2+y^2）/2，p(a，b，c)為s外一固定點，滿足a^2+b^2大於2c，過p點作s的所有切線。
證明：這些切線的切點落在同一平麵上。
本來以為是壓軸題，應該有點難度，但是伊誠稍加思索，發現這題並不難。
在幾何中，有一個非常厲害的王者咖喱棒。
它就是向量。
隻要使用向量這把咖喱棒，就能把一切都斬於無形。
伊誠略加思索，運用向量把題目證明完畢。
完了以後，他發現了一個神奇的事情——
這道題目不隻是在二維平麵上是可證的，甚至可以推廣到二次曲麵上。
於是伊誠又用向量證明了二次曲麵的推廣命題。
做完這些，伊誠在想，既然二次曲麵也是可行的，那麽有沒有可能推廣到3次？
當他忘乎所以，在草稿紙上進行更高維度的推廣時——
考試時間結束了。
按照競賽的要求，考官會把考卷連同草稿紙一起密封進行考核。
伊誠一臉茫然，對最後的步驟沒有做完耿耿於懷。
“這次不像你啊！”
在賽場門口，李安若抱著雙手嘲諷到。
“你不是次次都是第一個交卷的嗎？”
路上遇到了一群來自其他省的選手們。
“嗚嗚嗚，郭老師，我不配去清北……”
“老郭你說得對，我隻配上江城這種二流的垃圾學校，我回去就改誌願。”
……
這似曾相識的對話。
怎麽說好呢？
隻能說，博蘇克-烏拉姆定理表明，任何一個、嗯，任何一個從n維球麵到歐幾裏得n維空間的連續函數，都一定把某一對對蹠點映射到同一個點……
這個映射定理應用到人生也是一樣的啊！
伊誠在內心發出一聲感歎。
換句話說，幸福的人生各有各的幸福。
不幸的人生總是相似。
……
回到酒店之後，孟老師根據選手們的回憶，記錄題目，並且為大家進行複盤。
……
第二天，二試開始。
從8點半到12點半。
時間依舊是4個半小時。
每題依然是21分。
考場內紙筆沙沙作響。
就像是下雨一樣。
隻不過這種潤物細無聲式的安靜，比真實的戰場更加可怕。
在伊誠這個考場內，40個頂尖的大腦進入了心流模式。
第一題送分題：
證明：當素數a大於等於7時，a^4-1能被240整除。
題目非常簡單。
是個參加奧數比賽的學生都會。
一般情況下都會照顧選手們的自尊，所以題目不會出得太難。
這題確實是送分題。
整除相關的數論理論就那麽多。
伊誠隻瞟了一眼就知道這題該用費馬小定理。
其他人不可能不知道。
伊誠不指望靠它拉分，隻希望後麵兩道題能難一些。
最起碼不要低於昨天切蛋糕的水準。
費馬這個人舉世聞名，因為他在讀丟番圖這本書的時候，在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這裏空白的地方太小，寫不下。”
這就是非常有名的費馬大定理，從1637年開始，一直到1986年才由英國數學家安德魯·懷爾斯完成了最後的證明。
也因為費馬皮了那麽一下，之後出版的數學書後麵都會留出一頁空白，防止別人有借口說寫不下。
費馬是一個改變了數學史和數學教材製作的人。
但是，很多人其實不怎麽熟悉費馬小定理。
或者說不是從事數學專業的人很少聽說過費馬小定理。
這個東西是跟歐拉定理、中國的孫子定理和威爾遜定理一起並成為數論四大定理的可怕存在。
所以，費馬小定理講述了一個什麽事情呢？
它說：
如果p是一個質數，而整數a不是p的倍數，則有a^（p-1）≡1（modp）
……
那麽這題的證明就非常簡單了。
伊誠不假思索，提筆寫到——
證：
素數a大於等於7，a是奇數。
又a^4-1=（a-1）（a+1）（a^2+1）
且……
通過費馬小定理有：
（3，a）=1
（5，a）=1
所以……
最後得證：
240|(a^4-1)
……
花了10分鍾的時間，伊誠證明完第一題，開始攻略第二題。
這題有兩問：
【假設你生活在13世紀的羅馬，你手上有10個整數克重的砝碼和一個天平。
現在國王要你讓測量出他身上的一件東西。
這件物品的重量在1到88克之間。
1、你是否能做到？甚至少了任何一個砝碼也能做到這一點？
2、加入砝碼數量增加到12個，其中可以有相同重量的砝碼，用天平量出國王給你的一件物品。
這件物品在1-59克之間。
你是否能做到，甚至少了任何兩個砝碼也能做到這一點？】
伊誠看完了題目，心中至少有4種不同的證明方式。
但是這題有點奇怪的地方在於——
它規定了時代背景。
你生活在13世紀，並且是歐洲。
這個時期的歐洲數學還比較落後，它剛從衰落階段開始複蘇。
所以伊誠能用來證明題目的方法，也隻能是這個時期以前的。
他先嚐試對題目進行拆解——
取n個砝碼，記第i個砝碼的重量為fi
對於重量為w的物體，可以用n個砝碼測出它的重量。
當n=1時，f3=f2+f1=2
於是，f3-1=1，w=1時，顯然可以測出。
然後再討論n和n+1時的情況……
通過歸納假設……
可以得到第1問的證明。
在這裏，通過多次枚舉之後，伊誠發現了一些規律——
真是美麗的數字關係。
如此美麗的數字關係，隻有一種東西可以解釋：
斐波那契數列。
斐波那契是13世紀初的數學家，運用它的理論不會違背這個時代背景的原則。
所以，當發現規律為斐波那契數列之後，對於第2問就簡單得多了。
伊誠提筆寫到——
構造廣義斐波那契數列：
g(n)=g(n-1)+g(n-3)(n大於等於4）。
g(1)=g(2)=g(3)=1.
用歸納假設，可以說明對於這樣的n個砝碼，即使任意去掉其中的兩個，仍然能稱出重量1到g（n+1）-1的物體。
而g（13）=60.
所以第二問得證。
可以找到滿足題意的12個砝碼稱量1-59範圍內的物體。
答完題。
伊誠閉上眼睛，細細地品味著。
不得不說出題人真的很棒。
至少他讓人在這道題目中領略了什麽是數學之美。
不單單是因為斐波那契數列是黃金分割，本身就具有藝術美感。
更關鍵的是，這題反應了從探索到猜想，再到證明的數學之美。
嘖嘖。
伊誠砸吧著嘴唇，在陶醉了一番後，繼續攻克最後一道大題。
現在時間才過去了三分之一。
最後一題是一道證明題：
設s為r^3中的拋物麵z=（x^2+y^2）/2，p(a，b，c)為s外一固定點，滿足a^2+b^2大於2c，過p點作s的所有切線。
證明：這些切線的切點落在同一平麵上。
本來以為是壓軸題，應該有點難度，但是伊誠稍加思索，發現這題並不難。
在幾何中，有一個非常厲害的王者咖喱棒。
它就是向量。
隻要使用向量這把咖喱棒，就能把一切都斬於無形。
伊誠略加思索，運用向量把題目證明完畢。
完了以後，他發現了一個神奇的事情——
這道題目不隻是在二維平麵上是可證的，甚至可以推廣到二次曲麵上。
於是伊誠又用向量證明了二次曲麵的推廣命題。
做完這些，伊誠在想，既然二次曲麵也是可行的，那麽有沒有可能推廣到3次？
當他忘乎所以，在草稿紙上進行更高維度的推廣時——
考試時間結束了。
按照競賽的要求，考官會把考卷連同草稿紙一起密封進行考核。
伊誠一臉茫然，對最後的步驟沒有做完耿耿於懷。
“這次不像你啊！”
在賽場門口，李安若抱著雙手嘲諷到。
“你不是次次都是第一個交卷的嗎？”