6、什麽是虛數?

    大多數人最為熟悉的數有兩種，即正數（＋5，＋17.5）和負數（－5，－17.5）。負數是在中世紀出現的，它用來處理3－5這類問題。從古代人看來，要從三個蘋果中減去五個蘋果似乎是不可能的。但是，中世紀的商人卻已經清楚地認識到欠款的概念。“請你給我五個蘋果，可是我隻有三個蘋果的錢，這樣我還欠你兩個蘋果的錢。”這就等於說：（＋3）－（＋5）＝（－2）。


    正數及負數可以根據某些嚴格的規則彼此相乘。正數乘正數，其乘積為正。正數乘負數，其乘積為負。最重要的是，負數乘負數，其乘積為正。


    因此，（＋1）x（＋1）＝（＋1）；（＋1）x（－1）＝（－1）；（－1）x（－1）＝（＋1）。


    現在假定我們自問：什麽數自乘將會得出＋1？或者用數學語言來說，＋1的平方根是多少？


    這一問題有兩個答案。一個答案是＋1，因為（＋1）x（＋1）＝（＋1）；另一個答案則是－1，因為（－1）x（－1）＝（＋1）。數學家是用√￣（＋1）＝±1來表示這一答案的。（碧聲注：（＋1）在根號下）


    現在讓我們進一步提出這樣一個問題：－1的平方根是多少？


    對於這個問題，我們感到有點為難。答案不是＋1，因為＋1的自乘是＋1；答案也不是－1，因為－1的自乘同樣是＋1。當然，（＋1）x（－1）＝（－1），但這是兩個不同的數的相乘，而不是一個數的自乘。


    這樣，我們可以創造出一個數，並給它一個專門的符號，譬如說＃1，而且給它以如下的定義：＃1是自乘時會得出－1的數，即（＃1）x（＃1）＝（－1）。當這種想法剛提出來時，數學家都把這種數稱為“虛數”，這隻是因為這種數在他們所習慣的數係中並不存在。實際上，這種數一點也不比普通的“實數”更為虛幻。這種所謂“虛數”具有一些嚴格限定的屬性，而且和一般實數一樣，也很容易處理。


    但是，正因為數學家感到這種數多少有點虛幻，所以給這種數一個專門的符號“i”(imaginary)。我們可以把正虛數寫為（＋i），把負虛數寫為（－i），而把＋1看作是一個正實數，把（－1）看作是一個負實數。因此我們可以說√￣（－1）＝±i。


    實數係統可以完全和虛數係統對應。正如有＋5，－17.32，＋3／10等實數一樣，我們也可以有＋5i，－17.32i，＋3i／10等虛數。


    我們甚至還可以在作圖時把虛數係統畫出來。


    假如你用一條以0點作為中點的直線來表示一個正實數係統，那麽，位於0點某一側的是正實數，位於0點另一側的就是負實數。


    這樣，當你通過0點再作一條與該直線直角相交的直線時，你便可以沿第二條直線把虛數係統表示出來。第二條直線上0點的一側的數是正虛數，0點另一側的數是負虛數。這樣一來，同時使用這兩種數係，就可以在這個平麵上把所有的數都表示出來。例如（＋2）＋（＋3i）或（＋3）＋（－2i）。這些數就是“複數”。


    數學家和物理學家發現，把一個平麵上的所有各點同數字係統彼此聯係起來是非常有用的。如果沒有所謂虛數，他們就無法做到這一點了。