一個公務員給全人類留下的數學難題
曆史的溫度2：細節裏的故事、彷徨和信念 作者：張瑋 投票推薦 加入書簽 留言反饋
這篇文章，想講一個我完全不熟悉的學科，這個學科是我讀書時候的死敵，恨不得這門學科從地球上消失。
這門學科就是：數學！ 1
費馬
首先，不要因為這圖裏的人長得像小學教學樓走廊上貼的科學家圖，就跳過本文。
讓我們先來到17世紀的法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅。1601年的8月17日，本文的主人公，皮埃爾·德·費馬就出生在這裏。
費馬的父親，是當地的一家大皮革商店的擁有者，同時也是這個地區的第二執政官，換句話說，費馬就是一個“官二代＋富二代”。
費馬小時候並沒有進學校，父親給他請了兩個家庭教師在家輔導——有錢嘛。雖然說費馬小時候並沒有表現出一鳴驚人的神童天賦，但也是一個非常聰明的孩子，他的文科和理科都很不錯。
到了1617年，費馬要進大學了。費馬遵從父親的意見，進大學讀了法律專業。因為當時17世紀法國男子最體麵的職業，是做一名律師——你看，人家在17世紀就講究“依法治國”了。而且，家人已經花錢幫費馬買了一個“律師”和一個“參議員”的職位——好吧，剛講完法治，就“啪啪”打臉了。
簡而言之吧，費馬大學畢業後，如願做了律師，並擔任了參議員，雖然政績平平，但官階還是一路上升，最後做到了法國議會首席發言人。直到1665年1月12日，64歲的費馬安然辭世。
作為公務員，費馬的一生，就這樣結束了。 2
那，費馬和數學有什麽關係？
但事實上，費馬確實一輩子隻是個公務員，從來沒當過數學家。數學，隻是他的業餘愛好。
那麽好吧，一個“業餘數學家”，為什麽能夠名垂青史？因為，這個公務員費馬，利用業餘時間做的數學研究，對數論、概率論、微積分都做出過不小的貢獻。但相比他留下的那個定理，這些都是不值一提的。
奠定費馬“業餘數學家之王”頭銜的，是1637年，在費馬36歲的時候，提出了一個非常非常非常牛的定理，叫作：
費馬大定理！
定理就是定理，還要加個“大”，是不是聽上去很高級？（其實是區別於費馬另一個小定理。）
其實這個定理還有個名稱，叫“費馬最後定理”（fermat’sst theorem），意思是所有定理都證明完了，這肯定是最後一個待解的定理。但中國人還是叫“費馬大定理”，不用管了，聽上去高級！
那麽，“費馬大定理”究竟是說什麽呢？
很簡單，那就是（下麵一句話你可以自動忽略）：
當整數n>2時，關於x、y、z的方程xn+yn=zn沒有正整數解。
很簡單不是嗎？簡單到我都不屑於向你們解釋——反正，我們略過這句話，知道它是一個定理就對了。
最可恨的是，當時費馬是在閱讀丟番圖（diophatus）《算術》的拉丁文譯本時，在第11卷第8命題旁隨手寫下這個定理的。
關鍵是，他還在旁邊加了一句：“關於此，我確信已找到了一個極佳的證明，但書的空白太窄，寫不下。”（拉丁文原文：“cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. hanc marginis exiguitas non caperet.”）
這種管殺不管埋、毫不負責任的做法，拉開了之後300多年人類數學史上最艱苦卓絕的一場探索。
2011年，穀歌在費馬誕辰410周年時，曾將首頁logo（標識）換成了“費馬大定理”公式，但在logo裏的標簽寫了句揶揄他的話：“我確信已找到了一個極佳的證明，但這裏的空白太窄，寫不下。” 3
最先做出挑戰的是18世紀瑞士偉大的數學家歐拉，他先是發現費馬自己證明了n=4的情況，然後在1770年，歐拉給出了n=3時的證明。
這時，已經過去了133年。
之後，全世界最優秀的數學家，圍繞證明“費馬大定理”，開始了慘烈的競爭和接力。
開頭炮的是19世紀初法國自學成才的女數學家熱爾曼，在當時法國普遍歧視婦女的情況下，她獨立證明出了當n和2n+1都是素數時，費馬大定理的反例x、y、z至少有一個是n整倍數。（知道她達到了這個成就就行，不用去理解。）
然後，1825年德國數學家迪利克雷和法國數學家勒讓德分別獨立證明“費馬大定理”在n=5時成立。
這時，已經過去了188年。
1847年，戲劇性的一幕發生了：當時著名的數學家拉梅和柯西都宣布自己已基本證明“費馬大定理”。
然後德國數學家庫默爾寫來一封信。庫默爾證明不了“費馬大定理”，但他清晰地證明了這兩位數學家的證明都是錯誤的。
庫默爾是著名數學家高斯的學生，他當時還給出了另一個打擊全世界數學家的結論：按照現在的數學方法，“費馬大定理”是不可能證明的。
證明“費馬大定理”的革命浪潮，就此轉入低穀。
一低，就是半個世紀。 4
1908年，一位叫沃爾夫斯凱爾的德國人，重新將證明“費馬大定理”的熱情點燃了：他設立了10萬馬克的獎金，獎勵給最終做出證明的那個人。
沃爾夫斯凱爾為什麽要這麽做？因為“費馬大定理”救了他一條命。
沃爾夫斯凱爾其實隻是一個數學愛好者，主業是一個實業家。年輕時，沃爾夫斯凱爾追求一個女生被拒絕，絕望的小夥子傻乎乎地決定自殺，而且決定了自殺的時間：午夜鍾聲一響，就開槍射擊自己的頭部。
嚴謹的德國人之前處理好自己的商業事務，寫好遺囑，還給所有親朋好友寫好信。結果一看時間：哎喲喂，提早了一點點，午夜還沒到！
為了消磨最後一點時間，他就到圖書室翻閱數學書籍，然後就看到了一篇關於“費馬大定理”證明的論文。
然後，他就開始拿起筆做起了計算。
然後，天就亮了。
他發現自己已經不想自殺了。
為了感謝“費馬大定理”救了自己一命（真是莫名其妙），他設立了10萬馬克的獎金，這筆錢的價值放到現在，超過100萬英鎊。
也不能說是“有錢能使鬼推磨”吧，總之，證明“費馬大定理”的熱情又在全世界範圍內被點燃，不計其數的數學家和業餘愛好者，又如飛蛾撲火一般地投入證明中去。
另一方麵，由於電子計算機的發明，之前人類不可能做出的海量計算，現在成了可能。但這又如何呢？即便通過計算機證明n=1000萬時“費馬大定理”成立，也隻是無窮接近證明，並不能從數學邏輯上根本證明該定理成立。 5
時間到了1963年，離證明“費馬大定理”被提出已經過去了足足326年。無數革命先烈，哦不，數學先烈，倒在了證明這條定理的道路上。
這一年，一個叫安德魯·懷爾斯的10歲英國孩子，第一次在一本書上看到了“費馬大定理”的故事。
安德魯·懷爾斯
真命天子，終於出現了。
在懷爾斯之前，越來越多的數學家，已經放棄了對“費馬大定理”的證明。關於“費馬大定理”無法證明的論斷，也越來越多。
1986年，已經是普林斯頓大學教授的懷爾斯，決定放棄一切其他的研究，開始向“費馬大定理”發起總衝擊——他判斷，可能需要10年專心致誌的努力。
那一年，他33歲。開始研究“費馬大定理”的事，他沒有告訴任何人，除了他的妻子。
7年，就這樣過去了。
1993年6月23日，被稱為“本世紀最重要的一次數學演講”，在劍橋牛頓研究所拉開序幕。200多名數學家擠在房間裏，把目光聚焦在懷爾斯身上。懷爾斯用數學公式寫滿幾塊黑板，然後聽到他說了一句：“我想，我就在這裏結束。”
山呼海嘯一般的掌聲！大家意識到，困擾了人類300多年的一道數學題，今天似乎真的被解決了！
第二天，全世界報紙的頭版，破天荒地出現了一個數學家的名字：安德魯·懷爾斯！
美國《人物》雜誌將懷爾斯與黛安娜王妃、奧普拉一起列為“本年度25位最具魅力者”之一。懷爾斯甚至被一家時裝公司請去做男裝廣告！
但數學是嚴謹的。懷爾斯長達200頁的手稿投交到《數學發明》雜誌後，數學家們在數以百計的電子計算機幫助下，開始了龐雜的審稿過程：隻要有一個計算或邏輯出差錯，懷爾斯的證明將一文不值！
果然，悲劇發生了。在證明的過程中，有一個小環節，無法像懷爾斯說的那樣證明得通，他必須拿出更有力的說法。
1993年12月，懷爾斯公開承認證明有問題，但表示很快會補正。
之後，9個月過去了。
懷爾斯一籌莫展。
懷疑的聲音越來越響：懷爾斯隻是300多年來，無數自以為證明了“費馬大定理”的數學家中的一個而已。 6
1994年9月19日的早晨，懷爾斯決定最後檢視一下自己的證明，然後就宣布自己證明失敗。
但是，靈光一現：兩個不足以解決整個問題的方法結合在一起，可以完美補足他的那個證明缺陷。
1994年10月25日11點04分11秒，懷爾斯通過他以前的學生、美國俄亥俄州立大學教授卡爾·魯賓向世界數學界發了“費馬大定理”的完整證明郵件。
這一次，無論是數學家和計算機，再也沒有找出證明的漏洞。
困擾了人類長達358年的“費馬大定理”，終於被證明了！
1997年，懷爾斯領取了沃爾夫斯凱爾設立的10萬馬克獎金——再晚5年，“德國馬克”這個貨幣單位都沒了（歐元流通）。而整筆獎金，還差10年就領不到了。
沃爾夫斯凱爾設立這個獎金時，規定的截止日期是2007年。
你看，這個狡猾的德國人還設了個時間限製，可能因為他相信，“費馬大定理”肯定會被人證明。
饅頭說
第一次和“費馬大定理”結緣，是在大一期末的“高等數學”考卷上。那張卷子的最後一道題是：試闡述“費馬大定理”的公式和證明經過。
當時教我們高等數學的是複旦大學數學係享受國務院特殊津貼的華宣積教授。看得出，他還是很體諒我們這群文科生的。
而這道題，應該就是我們這群文科生，為什麽要知道“費馬大定理”的意義所在了吧。
“費馬大定理”在數學史上的地位和意義為何如此重要？
我個人覺得，因為證明這個定理的整個過程，本身就是一部看了讓人熱血沸騰的數學史。而這個困擾了人類三個多世紀的定理，凝聚著無數最傑出人類的腦力和智力，展現的是整個人類的智慧結晶。
人類不斷挑戰自己，超越自己，克服看似不可能完成的任務，這本身就是激動人心的。
這和我們懂不懂數學沒關係，不是嗎？
（推薦參考書目：《費馬大定理——一個困惑了世間智者358年的謎》［英］西蒙·辛格著，廣西師範大學出版社，2013年版）
讀者評論
薛神醫：n＝2時，就是勾股定理。n＞2時無整數解。“費馬大定理”之所以名氣如此之大，除了傳奇性，也與定理本身通俗易懂有關，換作別的定理，大部分人連題目都讀不懂。（作者回複：對。可是，微信公號後台很多人，包括我在內，現在連題目都看不懂了。）
旭言1028：如果從小數學老師就像你這麽生動地講數學家的故事，每個人的數學水平都會提高。（作者回複：記得小時候語文老師和我們說過陳景潤幾麻袋草稿紙證明1+1為什麽等於2的故事……）
小粥小醬：果然看得熱血沸騰的，刺激程度不比奧運會差。作為一個理科很差的理科生，在公式那裏還停留了很久，試圖回憶理解一下。複旦大學果然牛，考這道數學題，其實是為了讓大家好好學學曆史吧。
這門學科就是：數學！ 1
費馬
首先，不要因為這圖裏的人長得像小學教學樓走廊上貼的科學家圖，就跳過本文。
讓我們先來到17世紀的法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅。1601年的8月17日，本文的主人公，皮埃爾·德·費馬就出生在這裏。
費馬的父親，是當地的一家大皮革商店的擁有者，同時也是這個地區的第二執政官，換句話說，費馬就是一個“官二代＋富二代”。
費馬小時候並沒有進學校，父親給他請了兩個家庭教師在家輔導——有錢嘛。雖然說費馬小時候並沒有表現出一鳴驚人的神童天賦，但也是一個非常聰明的孩子，他的文科和理科都很不錯。
到了1617年，費馬要進大學了。費馬遵從父親的意見，進大學讀了法律專業。因為當時17世紀法國男子最體麵的職業，是做一名律師——你看，人家在17世紀就講究“依法治國”了。而且，家人已經花錢幫費馬買了一個“律師”和一個“參議員”的職位——好吧，剛講完法治，就“啪啪”打臉了。
簡而言之吧，費馬大學畢業後，如願做了律師，並擔任了參議員，雖然政績平平，但官階還是一路上升，最後做到了法國議會首席發言人。直到1665年1月12日，64歲的費馬安然辭世。
作為公務員，費馬的一生，就這樣結束了。 2
那，費馬和數學有什麽關係？
但事實上，費馬確實一輩子隻是個公務員，從來沒當過數學家。數學，隻是他的業餘愛好。
那麽好吧，一個“業餘數學家”，為什麽能夠名垂青史？因為，這個公務員費馬，利用業餘時間做的數學研究，對數論、概率論、微積分都做出過不小的貢獻。但相比他留下的那個定理，這些都是不值一提的。
奠定費馬“業餘數學家之王”頭銜的，是1637年，在費馬36歲的時候，提出了一個非常非常非常牛的定理，叫作：
費馬大定理！
定理就是定理，還要加個“大”，是不是聽上去很高級？（其實是區別於費馬另一個小定理。）
其實這個定理還有個名稱，叫“費馬最後定理”（fermat’sst theorem），意思是所有定理都證明完了，這肯定是最後一個待解的定理。但中國人還是叫“費馬大定理”，不用管了，聽上去高級！
那麽，“費馬大定理”究竟是說什麽呢？
很簡單，那就是（下麵一句話你可以自動忽略）：
當整數n>2時，關於x、y、z的方程xn+yn=zn沒有正整數解。
很簡單不是嗎？簡單到我都不屑於向你們解釋——反正，我們略過這句話，知道它是一個定理就對了。
最可恨的是，當時費馬是在閱讀丟番圖（diophatus）《算術》的拉丁文譯本時，在第11卷第8命題旁隨手寫下這個定理的。
關鍵是，他還在旁邊加了一句：“關於此，我確信已找到了一個極佳的證明，但書的空白太窄，寫不下。”（拉丁文原文：“cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. hanc marginis exiguitas non caperet.”）
這種管殺不管埋、毫不負責任的做法，拉開了之後300多年人類數學史上最艱苦卓絕的一場探索。
2011年，穀歌在費馬誕辰410周年時，曾將首頁logo（標識）換成了“費馬大定理”公式，但在logo裏的標簽寫了句揶揄他的話：“我確信已找到了一個極佳的證明，但這裏的空白太窄，寫不下。” 3
最先做出挑戰的是18世紀瑞士偉大的數學家歐拉，他先是發現費馬自己證明了n=4的情況，然後在1770年，歐拉給出了n=3時的證明。
這時，已經過去了133年。
之後，全世界最優秀的數學家，圍繞證明“費馬大定理”，開始了慘烈的競爭和接力。
開頭炮的是19世紀初法國自學成才的女數學家熱爾曼，在當時法國普遍歧視婦女的情況下，她獨立證明出了當n和2n+1都是素數時，費馬大定理的反例x、y、z至少有一個是n整倍數。（知道她達到了這個成就就行，不用去理解。）
然後，1825年德國數學家迪利克雷和法國數學家勒讓德分別獨立證明“費馬大定理”在n=5時成立。
這時，已經過去了188年。
1847年，戲劇性的一幕發生了：當時著名的數學家拉梅和柯西都宣布自己已基本證明“費馬大定理”。
然後德國數學家庫默爾寫來一封信。庫默爾證明不了“費馬大定理”，但他清晰地證明了這兩位數學家的證明都是錯誤的。
庫默爾是著名數學家高斯的學生，他當時還給出了另一個打擊全世界數學家的結論：按照現在的數學方法，“費馬大定理”是不可能證明的。
證明“費馬大定理”的革命浪潮，就此轉入低穀。
一低，就是半個世紀。 4
1908年，一位叫沃爾夫斯凱爾的德國人，重新將證明“費馬大定理”的熱情點燃了：他設立了10萬馬克的獎金，獎勵給最終做出證明的那個人。
沃爾夫斯凱爾為什麽要這麽做？因為“費馬大定理”救了他一條命。
沃爾夫斯凱爾其實隻是一個數學愛好者，主業是一個實業家。年輕時，沃爾夫斯凱爾追求一個女生被拒絕，絕望的小夥子傻乎乎地決定自殺，而且決定了自殺的時間：午夜鍾聲一響，就開槍射擊自己的頭部。
嚴謹的德國人之前處理好自己的商業事務，寫好遺囑，還給所有親朋好友寫好信。結果一看時間：哎喲喂，提早了一點點，午夜還沒到！
為了消磨最後一點時間，他就到圖書室翻閱數學書籍，然後就看到了一篇關於“費馬大定理”證明的論文。
然後，他就開始拿起筆做起了計算。
然後，天就亮了。
他發現自己已經不想自殺了。
為了感謝“費馬大定理”救了自己一命（真是莫名其妙），他設立了10萬馬克的獎金，這筆錢的價值放到現在，超過100萬英鎊。
也不能說是“有錢能使鬼推磨”吧，總之，證明“費馬大定理”的熱情又在全世界範圍內被點燃，不計其數的數學家和業餘愛好者，又如飛蛾撲火一般地投入證明中去。
另一方麵，由於電子計算機的發明，之前人類不可能做出的海量計算，現在成了可能。但這又如何呢？即便通過計算機證明n=1000萬時“費馬大定理”成立，也隻是無窮接近證明，並不能從數學邏輯上根本證明該定理成立。 5
時間到了1963年，離證明“費馬大定理”被提出已經過去了足足326年。無數革命先烈，哦不，數學先烈，倒在了證明這條定理的道路上。
這一年，一個叫安德魯·懷爾斯的10歲英國孩子，第一次在一本書上看到了“費馬大定理”的故事。
安德魯·懷爾斯
真命天子，終於出現了。
在懷爾斯之前，越來越多的數學家，已經放棄了對“費馬大定理”的證明。關於“費馬大定理”無法證明的論斷，也越來越多。
1986年，已經是普林斯頓大學教授的懷爾斯，決定放棄一切其他的研究，開始向“費馬大定理”發起總衝擊——他判斷，可能需要10年專心致誌的努力。
那一年，他33歲。開始研究“費馬大定理”的事，他沒有告訴任何人，除了他的妻子。
7年，就這樣過去了。
1993年6月23日，被稱為“本世紀最重要的一次數學演講”，在劍橋牛頓研究所拉開序幕。200多名數學家擠在房間裏，把目光聚焦在懷爾斯身上。懷爾斯用數學公式寫滿幾塊黑板，然後聽到他說了一句：“我想，我就在這裏結束。”
山呼海嘯一般的掌聲！大家意識到，困擾了人類300多年的一道數學題，今天似乎真的被解決了！
第二天，全世界報紙的頭版，破天荒地出現了一個數學家的名字：安德魯·懷爾斯！
美國《人物》雜誌將懷爾斯與黛安娜王妃、奧普拉一起列為“本年度25位最具魅力者”之一。懷爾斯甚至被一家時裝公司請去做男裝廣告！
但數學是嚴謹的。懷爾斯長達200頁的手稿投交到《數學發明》雜誌後，數學家們在數以百計的電子計算機幫助下，開始了龐雜的審稿過程：隻要有一個計算或邏輯出差錯，懷爾斯的證明將一文不值！
果然，悲劇發生了。在證明的過程中，有一個小環節，無法像懷爾斯說的那樣證明得通，他必須拿出更有力的說法。
1993年12月，懷爾斯公開承認證明有問題，但表示很快會補正。
之後，9個月過去了。
懷爾斯一籌莫展。
懷疑的聲音越來越響：懷爾斯隻是300多年來，無數自以為證明了“費馬大定理”的數學家中的一個而已。 6
1994年9月19日的早晨，懷爾斯決定最後檢視一下自己的證明，然後就宣布自己證明失敗。
但是，靈光一現：兩個不足以解決整個問題的方法結合在一起，可以完美補足他的那個證明缺陷。
1994年10月25日11點04分11秒，懷爾斯通過他以前的學生、美國俄亥俄州立大學教授卡爾·魯賓向世界數學界發了“費馬大定理”的完整證明郵件。
這一次，無論是數學家和計算機，再也沒有找出證明的漏洞。
困擾了人類長達358年的“費馬大定理”，終於被證明了！
1997年，懷爾斯領取了沃爾夫斯凱爾設立的10萬馬克獎金——再晚5年，“德國馬克”這個貨幣單位都沒了（歐元流通）。而整筆獎金，還差10年就領不到了。
沃爾夫斯凱爾設立這個獎金時，規定的截止日期是2007年。
你看，這個狡猾的德國人還設了個時間限製，可能因為他相信，“費馬大定理”肯定會被人證明。
饅頭說
第一次和“費馬大定理”結緣，是在大一期末的“高等數學”考卷上。那張卷子的最後一道題是：試闡述“費馬大定理”的公式和證明經過。
當時教我們高等數學的是複旦大學數學係享受國務院特殊津貼的華宣積教授。看得出，他還是很體諒我們這群文科生的。
而這道題，應該就是我們這群文科生，為什麽要知道“費馬大定理”的意義所在了吧。
“費馬大定理”在數學史上的地位和意義為何如此重要？
我個人覺得，因為證明這個定理的整個過程，本身就是一部看了讓人熱血沸騰的數學史。而這個困擾了人類三個多世紀的定理，凝聚著無數最傑出人類的腦力和智力，展現的是整個人類的智慧結晶。
人類不斷挑戰自己，超越自己，克服看似不可能完成的任務，這本身就是激動人心的。
這和我們懂不懂數學沒關係，不是嗎？
（推薦參考書目：《費馬大定理——一個困惑了世間智者358年的謎》［英］西蒙·辛格著，廣西師範大學出版社，2013年版）
讀者評論
薛神醫：n＝2時，就是勾股定理。n＞2時無整數解。“費馬大定理”之所以名氣如此之大，除了傳奇性，也與定理本身通俗易懂有關，換作別的定理，大部分人連題目都讀不懂。（作者回複：對。可是，微信公號後台很多人，包括我在內，現在連題目都看不懂了。）
旭言1028：如果從小數學老師就像你這麽生動地講數學家的故事，每個人的數學水平都會提高。（作者回複：記得小時候語文老師和我們說過陳景潤幾麻袋草稿紙證明1+1為什麽等於2的故事……）
小粥小醬：果然看得熱血沸騰的，刺激程度不比奧運會差。作為一個理科很差的理科生，在公式那裏還停留了很久，試圖回憶理解一下。複旦大學果然牛，考這道數學題，其實是為了讓大家好好學學曆史吧。