<blockquote>
卡爾·恩斯特·馮·貝爾（karl ernst von baer，1792—1876），愛沙尼亞動物學家和地理學家，被認為是動物科學發展史的奠基者。1860年，他在聖彼得堡發表了《論河床成型的一般規律》（über ein allgemeines gesetz in der gestaltung der flu?betten）一文，探討了地球自轉的偏轉力對河床形成的影響。這就是以他名字命名的所謂的“貝爾定律”。
本文是愛因斯坦1926年1月7日在普魯士科學院就貝爾定律所做的報告，發表於德文期刊《自然科學》（vol. 14, 1926）。原標題為die ursache der m?anderbildung der flu?l?ufe und des baerschen gesetzes，字麵意義為“曲流河形成的原因及貝爾定律”。 </blockquote>
眾所周知，溪流總是蜿蜒向前，而不是沿坡度最大的直線流動。地理學家也很清楚，北半球河流主要侵蝕右岸，而南半球河流的表現則相反（貝爾定律）。人們已經做過許多嚐試去解釋這個現象，所以我不確定自己在這篇文章中提出的解釋對專家來說是否有新意；我的一些思考肯定是已知的。然而，因為沒有發現有誰徹底通曉其中的因果關係，所以我想可以在這裏對其做一個簡短的定性闡述。
首先必須清楚，衝擊河岸的水流速度越大，或者說在岸邊某處水流停止得越突然，侵蝕力就越強。不論是機械因素還是物理化學因素（土壤成分的分解）造成的侵蝕，這一規律在所有情況下都成立。所以，我們應當關注影響河壁處水速梯度的因素。
兩種情況下，速度下降的不對稱性，都是一種循環運動間接造成的。我們接下來就看看這種循環運動。
作為開始，我要講一個大家都能輕易重複的小實驗。想象一個裝滿茶水的平底杯。因為茶葉比同體積的杯中液體更重，所以沉澱在底部。如果用勺攪拌茶水使之旋轉，那茶葉將會很快聚集在茶杯底部中心。這個現象的解釋如下：液體的旋轉產生離心力，作用在液體上。如果液體像固體那樣旋轉，那麽離心力本身不會引起液體流動的改變。但是，杯壁附近的液體會受到摩擦力的阻礙，因此其旋轉角速度要小於更靠近中心的液體。尤其是杯底附近液體的角速度和離心力，都比其上方的液體小。結果將產生一種液體的環形運動，如圖5—4所示；這種運動會持續增強，直到它在杯壁和杯底的摩擦力影響下趨於穩定。茶葉被這種環流掃到杯底中間，就是這種環流存在的證據。 <h5>圖5—4</h5>
類似的事情還發生在彎曲的河流上（圖5—5）。在河道每個轉彎處的橫截麵上，都受到離心力作用，方向指向彎道外側（從a到b）。由於受底部摩擦力，水速變小，所以底部附近的離心力小於其上方的離心力。這將引起如圖所示的那種環形運動。即使河流沒有轉彎，地球自轉也會產生圖5—5所示的微弱環流。這是因為地球自轉產生科裏奧利力，作用在垂直河流的方向，使得單位質量液體上受到的向右水平分力大小為2vΩsinφ，其中v是河流速度，Ω是地球自轉速度，φ是地理緯度。因為趨近底部時，河底摩擦力使科裏奧利力減弱[1]，所以也引起圖5—5所示的環流。 <h5>圖5—5</h5>
初步的討論之後，我們回到河流橫截麵上速度分布[2]的問題，這是侵蝕的關鍵因素。為此，我們必須先認識（湍流的）速度分布是怎樣形成並穩定下來的。假設原先靜止的水忽然受到均勻加速力開始運動，那麽橫截麵速度的分布起初也是均勻的。在河壁摩擦力作用下，一段時間後，速度分布才能自發地形成從河壁向橫截麵中心逐漸增強的模式。要對已經形成的橫截麵速度的（大體上）穩定分布產生幹擾，也隻有在液體摩擦力作用下逐漸發展深入。
流體動力學所描繪的速度穩定分布的形成過程如下：某平麵（勢）流中，全部渦旋線集中在河壁上。它們自發地離開壁麵，向河流橫截麵中心緩慢移動，分布在一個越來越厚的液體層中，因此河壁處流速梯度逐漸減小。在液體內摩擦力的作用下，橫截麵內部的渦旋線被逐漸吸收，但河壁上新形成的渦旋線會取代它們的位置，最後形成準穩態的速度分布。對於我們來說很重要的是，實現穩定的速度分布是一個緩慢的過程。所以，即使相對不重要的作用力，隻要能持續起作用，就會對橫截麵速度分布產生很大影響。現在讓我們考慮由於河水轉彎或科裏奧利力產生的環流（如圖5—5所示），對河流橫截麵速度分布會產生什麽樣的影響。運動最快的液體粒子離河壁最遠，它們處於河底中心上方。環流將這些流速最大的河水推向右邊的河壁，同時河底附近速度較小的水湧向左邊的河壁。因此，在圖5—5所示的情況中，右岸受到的侵蝕一定大於左岸。應該注意，這個解釋的重要依據是，緩慢的河水環形運動對速度分布產生了可觀影響，因為能抵消這種循環運動影響的內摩擦力對速度的調整作用也是一個緩慢的過程。
這樣我們就說明了曲流的成因。此外，從這些事實中，我們不難推出其他一些細節。廣泛的侵蝕作用，不僅是對右邊的河壁，還有河底的右半部，因此將可能呈現出圖5—6描繪的剖麵。 <h5>圖5—6</h5>
還有，表麵的水來自左邊河壁附近，因此，特別是在左邊，它會比稍下方的水流動慢一些[3]。這點已經被實際觀察到了。我們還注意到，這個環流具有慣性。所以，它在河流最彎曲處之後才達到最大，侵蝕的不對稱性當然也是如此。因此在侵蝕過程中，曲流形成的波形線一定會沿河流方向增長。最後，河的橫截麵越大，摩擦力對環流的損耗吸收就越慢；所以，曲流形成的波形線將隨著河流橫截麵增大而增長。
[1] 出現這個現象是因為河底處流速減小。——編譯者注
[2] 這裏和之後的橫截麵速度指的都是水流向前的速度。——編譯者注
[3] 出現這個現象是因為河壁處的摩擦。——編譯者注
卡爾·恩斯特·馮·貝爾（karl ernst von baer，1792—1876），愛沙尼亞動物學家和地理學家，被認為是動物科學發展史的奠基者。1860年，他在聖彼得堡發表了《論河床成型的一般規律》（über ein allgemeines gesetz in der gestaltung der flu?betten）一文，探討了地球自轉的偏轉力對河床形成的影響。這就是以他名字命名的所謂的“貝爾定律”。
本文是愛因斯坦1926年1月7日在普魯士科學院就貝爾定律所做的報告，發表於德文期刊《自然科學》（vol. 14, 1926）。原標題為die ursache der m?anderbildung der flu?l?ufe und des baerschen gesetzes，字麵意義為“曲流河形成的原因及貝爾定律”。 </blockquote>
眾所周知，溪流總是蜿蜒向前，而不是沿坡度最大的直線流動。地理學家也很清楚，北半球河流主要侵蝕右岸，而南半球河流的表現則相反（貝爾定律）。人們已經做過許多嚐試去解釋這個現象，所以我不確定自己在這篇文章中提出的解釋對專家來說是否有新意；我的一些思考肯定是已知的。然而，因為沒有發現有誰徹底通曉其中的因果關係，所以我想可以在這裏對其做一個簡短的定性闡述。
首先必須清楚，衝擊河岸的水流速度越大，或者說在岸邊某處水流停止得越突然，侵蝕力就越強。不論是機械因素還是物理化學因素（土壤成分的分解）造成的侵蝕，這一規律在所有情況下都成立。所以，我們應當關注影響河壁處水速梯度的因素。
兩種情況下，速度下降的不對稱性，都是一種循環運動間接造成的。我們接下來就看看這種循環運動。
作為開始，我要講一個大家都能輕易重複的小實驗。想象一個裝滿茶水的平底杯。因為茶葉比同體積的杯中液體更重，所以沉澱在底部。如果用勺攪拌茶水使之旋轉，那茶葉將會很快聚集在茶杯底部中心。這個現象的解釋如下：液體的旋轉產生離心力，作用在液體上。如果液體像固體那樣旋轉，那麽離心力本身不會引起液體流動的改變。但是，杯壁附近的液體會受到摩擦力的阻礙，因此其旋轉角速度要小於更靠近中心的液體。尤其是杯底附近液體的角速度和離心力，都比其上方的液體小。結果將產生一種液體的環形運動，如圖5—4所示；這種運動會持續增強，直到它在杯壁和杯底的摩擦力影響下趨於穩定。茶葉被這種環流掃到杯底中間，就是這種環流存在的證據。 <h5>圖5—4</h5>
類似的事情還發生在彎曲的河流上（圖5—5）。在河道每個轉彎處的橫截麵上，都受到離心力作用，方向指向彎道外側（從a到b）。由於受底部摩擦力，水速變小，所以底部附近的離心力小於其上方的離心力。這將引起如圖所示的那種環形運動。即使河流沒有轉彎，地球自轉也會產生圖5—5所示的微弱環流。這是因為地球自轉產生科裏奧利力，作用在垂直河流的方向，使得單位質量液體上受到的向右水平分力大小為2vΩsinφ，其中v是河流速度，Ω是地球自轉速度，φ是地理緯度。因為趨近底部時，河底摩擦力使科裏奧利力減弱[1]，所以也引起圖5—5所示的環流。 <h5>圖5—5</h5>
初步的討論之後，我們回到河流橫截麵上速度分布[2]的問題，這是侵蝕的關鍵因素。為此，我們必須先認識（湍流的）速度分布是怎樣形成並穩定下來的。假設原先靜止的水忽然受到均勻加速力開始運動，那麽橫截麵速度的分布起初也是均勻的。在河壁摩擦力作用下，一段時間後，速度分布才能自發地形成從河壁向橫截麵中心逐漸增強的模式。要對已經形成的橫截麵速度的（大體上）穩定分布產生幹擾，也隻有在液體摩擦力作用下逐漸發展深入。
流體動力學所描繪的速度穩定分布的形成過程如下：某平麵（勢）流中，全部渦旋線集中在河壁上。它們自發地離開壁麵，向河流橫截麵中心緩慢移動，分布在一個越來越厚的液體層中，因此河壁處流速梯度逐漸減小。在液體內摩擦力的作用下，橫截麵內部的渦旋線被逐漸吸收，但河壁上新形成的渦旋線會取代它們的位置，最後形成準穩態的速度分布。對於我們來說很重要的是，實現穩定的速度分布是一個緩慢的過程。所以，即使相對不重要的作用力，隻要能持續起作用，就會對橫截麵速度分布產生很大影響。現在讓我們考慮由於河水轉彎或科裏奧利力產生的環流（如圖5—5所示），對河流橫截麵速度分布會產生什麽樣的影響。運動最快的液體粒子離河壁最遠，它們處於河底中心上方。環流將這些流速最大的河水推向右邊的河壁，同時河底附近速度較小的水湧向左邊的河壁。因此，在圖5—5所示的情況中，右岸受到的侵蝕一定大於左岸。應該注意，這個解釋的重要依據是，緩慢的河水環形運動對速度分布產生了可觀影響，因為能抵消這種循環運動影響的內摩擦力對速度的調整作用也是一個緩慢的過程。
這樣我們就說明了曲流的成因。此外，從這些事實中，我們不難推出其他一些細節。廣泛的侵蝕作用，不僅是對右邊的河壁，還有河底的右半部，因此將可能呈現出圖5—6描繪的剖麵。 <h5>圖5—6</h5>
還有，表麵的水來自左邊河壁附近，因此，特別是在左邊，它會比稍下方的水流動慢一些[3]。這點已經被實際觀察到了。我們還注意到，這個環流具有慣性。所以，它在河流最彎曲處之後才達到最大，侵蝕的不對稱性當然也是如此。因此在侵蝕過程中，曲流形成的波形線一定會沿河流方向增長。最後，河的橫截麵越大，摩擦力對環流的損耗吸收就越慢；所以，曲流形成的波形線將隨著河流橫截麵增大而增長。
[1] 出現這個現象是因為河底處流速減小。——編譯者注
[2] 這裏和之後的橫截麵速度指的都是水流向前的速度。——編譯者注
[3] 出現這個現象是因為河壁處的摩擦。——編譯者注